458 résultats trouvés

par Siméon
mar. mars 26, 2019 5:36 pm
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Sujet : Le concours géneral de math
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Re: Le concours géneral de math

Plus simplement, on montre que la propriété (P6) découle des autres en remarquant que $f\times g = u\circ (v\circ f + v\circ g) - (f + g)$.
par Siméon
mar. mars 12, 2019 12:30 pm
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Sujet : Puissance d'un cycle
Réponses : 1
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Re: Puissance d'un cycle

En considérant la décomposition en cycles à supports disjoints de $ \sigma^k $, qui commute avec $\sigma$, tu peux montrer que c'est un cycle non trivial si et seulement si c'est un $n$-cycle, c'est-à-dire si et seulement si c'est un élément d'ordre $n$ du groupe cyclique engendré par $\sigma$.
par Siméon
sam. mars 09, 2019 3:52 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

D'accord, j'avais lu un peu vite ! Mon idée était en fait assez proche. Pour tout $x_0 \in \left]0;1\right[$, on construit par récurrence une suite $(x_k)_{k\in \mathbb N}$ strictement croissante telle que les événements $A_k = \{f(x_0),\dots,f(x_k) \text{ sont non nuls et de même signe}\}$ vérifien...
par Siméon
ven. mars 08, 2019 11:51 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

À propos de l'oral d'Ulm posé par l'X en Y. Une idée qui fonctionne (je ne donne pas tous les détails, seulement quelques grandes lignes). [...] En utilisant convenablement le lemme de Borel-Cantelli, on peut alors conclure (je reste volontairement succint)... Je serais curieux de voir ce que tu as ...
par Siméon
ven. févr. 01, 2019 7:04 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Ce serait dommage, je trouve que ce sont souvent de bonnes énigmes si on a un peu de temps devant soi. Je t'ai juste répondu sur la question « proposables comme colles en MP ».
par Siméon
ven. févr. 01, 2019 5:00 pm
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Sujet : Preuve concise
Réponses : 23
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Re: Preuve concise

Tant que j'y pense, pour aller encore plus vite on peut aussi obtenir directement $\left|e^z - \left(1+\frac zn\right)^n\right| \leqslant \frac{|z|^2}{n}e^{|z|} $ en appliquant l'inégalité des acroissements finis à $t \mapsto e^{-tz}\left(1+\frac {tz}n\right)^n$ entre $0$ et $1$. Une pierre deux co...
par Siméon
ven. févr. 01, 2019 4:56 pm
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Sujet : Décomposition en éléments simples
Réponses : 3
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Re: Décomposition en éléments simples

Je n'ai jamais eu les canons en tête pour ce genre de calcul (relis dans ton cours, ça doit y être). Ici je ferais simplement un développement à l'ordre 1 de $(X-1)^2 F(X)$ en $1$ pour obtenir $a$. Tu peux refaire la même chose en $j$ pour obtenir $c$ puis son conjugué ou, de façon plus astucieuse, ...
par Siméon
ven. févr. 01, 2019 4:27 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Je ne suis certainement pas le mieux qualifié pour répondre. Pour la plupart de tes questions, je dirais que la réponse est clairement non en MP. Surtout celles qui sont formulées de manière ouverte (ceci démultiplie la difficulté). Même dans une très bonne MP*, je ne m'y risquerais pas sauf avec de...
par Siméon
jeu. janv. 31, 2019 12:19 am
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Sujet : Preuve concise
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Re: Preuve concise

$ $Dans la même veine en utilisant la factorisation $a^n - b^n$ par $a- b$ on obtient facilement :
$$
\left|e^z - \left(1+\frac zn\right)^n\right| \leqslant \left|e^{\frac zn} - 1 - \frac zn\right|\, ne^{|z|}
$$

Edit : coquille corrigée.
par Siméon
mar. janv. 29, 2019 10:49 am
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Esquisse pour le 949757 : En considérant la matrice de (u_2-u_1,\dots,u_k-u_1) dans une base orthonormale fixée, ceci se ramène à l'existence de M \in \mathcal M_{n,k-1}(\mathbb R) telle que ${}^tMM = G$ avec pour tous $(i,j) \in [\![1,k-1]\!]^2$, $G_{i,i} = 1$ et $G_{i,j} = \frac12$ si $i \neq j$. ...
par Siméon
dim. janv. 20, 2019 12:08 am
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

@Dattier : Oui, mais après ? J'ai du mal à croire que ça donne une solution plus simple ou plus rapide que passer directement par l'existence d'une partie dénombrable dense de $C([0,1] ; \mathbb R)$ pour la norme infinie.
par Siméon
sam. janv. 19, 2019 10:27 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Pour le problème de oty20 : Pourvu que $x_i \to 0$ (sinon c'est facile), je commencerais par découper \mathbb N^* en intervalles $I_k = [\![a_k,a_{k+1}[\![$ tels que $\sum_{i \in I_k} x_i \geqslant 1$, puis piocher avec $\phi$ tous les termes de $I_1$, la moitié des termes de $I_2$, un tiers des ter...
par Siméon
sam. janv. 19, 2019 10:19 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

darklol a écrit :
ven. janv. 18, 2019 2:42 am
J’espère que cette preuve est juste (à peine quelques mois sans maths et déjà l’impression de n’en avoir jamais fait):
Ça me semble tout à fait juste !

@Dattier : merci pour ton problème. Cependant, je ne vois pas plus que GBZM où intervient la convexité des fonctions. Était-ce juste un piège ?
par Siméon
mar. janv. 15, 2019 12:10 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Je suis intervenu parce que je suis convaincu que tu n'as pas donné la réponse que Siméon attendait. La piste suggérée par GBZM me semble en effet plus prometteuse. À ce propos, pourriez-vous ajouter avant vos balises spoiler quelques mots précisant sa nature (indication, solution, etc.) ? Cela évi...
par Siméon
lun. janv. 14, 2019 5:18 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Sur le même thème : soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^2$ et pour tout $x \in \mathbb R,\ \varphi(x) = \sup\{ax+b \mid (a,b) \in K\}$.
Déterminer le domaine de dérivabilité de $\varphi$ et préciser la dérivée sur ce domaine.