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En effet il y a un bug, désolé. Je reviendrai dessus dans quelques jours.

Contrairement à Gabuzomeu j'ai donné une démonstration (à trous certes, mais faciles à combler). Pour le reste, je ne comprends rien à ton délire...

Merci, mais ni les dattes ni les Choco BN ne sont bons pour mon régime. Voici tout de même une solution pour le 228 sans détailler : Soit $a$ un réel dont le développement dyadique contient toute suite finie de $0$ et de $1$. Alors $\left\{\cos(2^n a\pi) ; n \in \mathbb N \right\}$ est dense dans $]...

Dattier a écrit : ↑

sam. oct. 13, 2018 3:32 pm

2/ Et le cas N pair (tu as utilisé une 1/2 lignes, il te reste une demi lignes) ?

La 190 montrait déjà que la condition \( N \) impair est nécessaire.
Pour résumer la 228, il me semble que tu as perdu un Choco BN. Non ?

@Dattier : déjà tu n'as rien démontré, mais surtout on a vu mieux comme fonction continue sur \( \mathbb R \).

@zede :

Euh Dattier, le 193 est tout à fait accessible au niveau lycée et la solution fait une ligne sans calcul ! En ce qui concerne le 228 par contre, je suis prêt à parier un Choco BN que tu n'as pas de solution valide en moins de 500 caractères. On dirait parfois que tu lances tes dattes au hasard : aïe !

Bonjour oty, ici l'inégalité triangulaire n'est pas vraiment pertinente car les vecteurs sont colinéaires : \( \forall \lambda \in \mathbb R_+,\ \|x + \lambda x\| = (1 + \lambda)\cdot \|x\| \)

Je n'ai pas trouvé plus simple. Pour tout $n \in \Bbb Z$, on pose $A_n = \{x \in \Bbb R \mid cn \leqslant f(x) < c(n+1)\}$ de sorte que $\bigcup_{n \in \Bbb Z} A_n = \Bbb R$. Puisque $\Bbb R$ est indénombrable, il existe donc $n \in \Bbb Z$ tel que $A_n$ est infini (et même indénombrable). Or pour ...

Ce sera sans doute plus clair en remplaçant « Que dire de la variable \( X_k \) ? » par « Quelle est la loi de la variable $X_k$ ? »

Quitte à considérer $x \mapsto h(-x)$, il suffit d'établir la nullité de $h$ sur $[0,1\mathclose[$.
Les hypothèses entraînent facilement pour tout \( x \geq 0,\ |h(x)|+|h'(x)| \leq 2 \int_0^x (|h(t)| + |h'(t)|) dt \), puis on conclut avec le lemme de Grönwall.

Indication : si \( \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} \) est proche de $a$ avec grande probabilité, et si $\frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{n}$ est proche de $b$ avec grande probabilité, alors $\frac{X_1 + \cdots + X_n}{X_1^2 + \cdots + X_n^2}$ est proche de $\frac ab$ avec grande probabilité.

Je n'ai rien écrit de tel : il suffit de voir que m-x est un minorant de $H\cap \mathbb R_+^*$ pour en déduire que $m - x \leq m$. Détails. Soit $h \in H\cap \mathbb R_+^*$. Alors $x + h \in H\cap \mathbb R_+^*$ car $x + h \in H$ et $x + h \geq x + m > 0$. Donc $m \leq x + h$. P.S. Tout ceci est à p...

Soit $H = \mathbb N + \pi \mathbb Z$ et soit $m =\inf (H \cap \mathbb R_+^*)$. Supposons que $m > 0$. Par densité de $\mathbb Z + \pi\mathbb Z$ dans $\mathbb R$, on peut trouver $x \in H$ tel que $|x| < m$. De plus $x\neq 0$ car $\pi$ est irrationnel. Si $x > 0$, alors $x \in H\cap\mathbb R_+^*$ et ...

Dans le même genre d'idées que ci-dessus, la convolution par un noyau régularisant permet d'approcher par une fonction lisse à peu près tout et n'importe quoi : 1. On part d'une fonction à approcher H : x\mapsto \begin{cases}1 & \text{si }x \leq \frac32\\0 & \text{si }x > \frac32\end{cases} 2. On co...

Je dirais que c'est plutôt : (4) tu as mal compris la construction.

Pour un choix de $\phi$ tel qu'indiqué à la fin, la fonction est nulle sur l'ensemble de Cantor et strictement positive sur son complémentaire dans $]0,1[$.