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Je ne sais si ça t'aidera mais il est à mon avis important de comprendre que la convergence en probabilité ne dépend que de la suite de lois ${(P_{X_n - X})}_{n\in \mathbb N}$. Elle ne tient pas du tout compte des « dépendances » entre entre les variables (i.e. des lois jointes), contrairement à la ...

Ce n'est pas si compliqué. Sans perdre de généralité, on peut supposer que $\sup f = 1$. En utilisant la convergence vers $0$ en $+\infty$, on construit terme à terme une suite $(a_n)$ strictement croissante telle que $a_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb N,\ \sup_{x\geqslant a_n} f(x) \leqslant 2^{...

Cher humbleserviteur, que fais-tu de mon autre indication ? Le développement de Taylor de $f$ en $0$ s'exprime très simplement à partir de celui de $g$ (tu peux y penser en termes de développements limités). Tu obtiendras une condition nécessaire portant sur tous les $(f^{(2k+1)}(0))_{k\in \mathbb N...

Est-ce ok sur $\mathbb R_+^*$ ? En $0$, tu peux considérer le développement de Taylor-Young.

Supposons que \( au + bv = n \) avec \( (u,v) \in\mathbb Z^2 \), alors pour tout $k \in \mathbb Z,\ a(u-kb) + b(v+ka) = n$.
Il te reste à vérifier que si \( n > ab-a-b \), alors tu pourras toujours trouver \( k \in \mathbb Z \) tel que \( u-kb \geq 0 \) et \( v +ka \geq 0 \).

Ça m'a l'air juste ! Voici comment conclure l'autre approche : On note $\phi$ l'isomorphisme $S \to \mathrm{Im}\,f$ défini par restriction de $f$. Pour tout $(u,k) \in C(f|_{\mathrm{Im}\,f})\times \mathcal L(S,\mathrm{Ker}\,f)$, considère alors l'unique application linéaire $\Phi(u,k) \in\mathcal L(...

Pour tout n \in \mathbb N,\ |b_n - b|_{K'} = \lim\limits_{p\to +\infty} |b_n - b_p|_K \leq \sup\limits_{p,q \geq n} |b_q - b_p|_K . Or $b$ est de Cauchy ... P.S. On peut montrer la complétude plus directement, sans passer par la densité : Si $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy dans $K'$, alors la ...

Walid, quel intérêt de considérer une base orthonormale si tu n'écris pas aussi ${}^t A$ dans cette base ? Par ailleurs, quel est le rang de $B$ ? de ${}^t B$ ?

Bonjour oty20, Un résultat qu'il est bon de connaître en MP* : si $S$ est un supplémentaire de $\mathrm{Ker}(f)$, alors $f$ est bijective de $S$ vers $\mathrm{Im}(f)$. Ceci permet de finaliser la piste que je t'ai proposée et c'est aussi la clef pour la Q1 de Jean, même si on peut raisonner faire sa...

Zeuphro, tu peux exprimer simplement la probabilité de l'événement complémentaire avec la formule du crible.

Ceci contredirait la condition $p < n$ que tu as écrite plus haut !? Franchement, on ne comprend rien à ce que tu cherches à faire. Si tu veux de l'aide, il va falloir prendre le temps de clarifier ta question et de la rédiger de façon précise.

Ce n'est pas possible : que vaudrait $P(UV = 0) + P(UV = 1)$ ?

Quelles sont les valeurs possibles pour le produit $UV$ ? Pour quelle(s) valeur(s) du couple $(U,V) $ sont-elles atteintes ? Impossible cependant de déterminer le paramètre sans hypothèse supplémentaire sur la loi du couple. Compte tenu des autres questions, l'auteur a sans doute oublié l'indépendan...

Je ne comprends pas ton problème : ne remarques-tu pas que $U = R_1\times R_2\times \cdots \times R_p$ ?

Tu es sur la bonne voie. En "propageant" la factorisation sous les racines, tu devrais tomber sur : \( \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{\cdots + \sqrt{a_{n}}}}} \) avec \( a_k = \frac{k+1}{2^{?}} \) pour \( 1\leq k \leq n \). Je te laisse trouver la bonne majoration des \( a_k \) pour comparer avec \( u_n \).