C'est une valeur au voisinage de laquelle « s'accumule » une infinité de termes de la suite.

Pour toute matrice $M \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ de rang $r \geq 1$, on dispose de $P,Q$ inversibles telles que $M = PJ_rQ$, où $J_r$ est une matrice diagonale avec $r$ coefficients diagonaux égaux à $1$ et tous les autres nuls. La décomposition $M = PQ + P(J_r - I_n)Q$ convient alors car $J_r - I...

À un décalage près, c'est bien cela.

Je te l'ai déjà dit, reviens aux sommes partielles !
$$
S_n = \sum_{k=0}^n u_k
$$

Bof, tes $ R_{n,k} $ ne correspondent à aucune série. Tu es hors-sujet là.

Puisque tu peines à prouver la convergence, je te rappelle le critère de Cauchy dans le cas d'une suite de réels $(S_n)$ :
$$
\sup_{N \geqslant n} \left|S_N - S_n\right| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.
$$

Dattier, il suffit de considérer la suite des sommes partielles pour établir la convergence !

La condition dont parle Dattier, qui s'écrit $$ \sup_{N \geqslant n} \left|\sum_{k=n}^N u_k \right| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0, $$ traduit exactement le critère de Cauchy, et donc la convergence de la série $\sum_k u_k$ par complétude de $\mathbb R$. Autrement dit, il n'y a aucun contre-exemple à...

$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt n\, e^{-n^4(x-n)^2}
$$

... faut ... faut ... faut Trois fois faux : il suffit . Je chipote sans être très sérieux, mais il faut tout de même y faire attention. D'ailleurs, l'exercice peut se résoudre directement en raisonnant avec des bases. J'introduis la notation [a_1,\dots,a_k] pour la concaténation des familles finie...

Plus simplement, on montre que la propriété (P6) découle des autres en remarquant que $f\times g = u\circ (v\circ f + v\circ g) - (f + g)$.