1130 résultats trouvés

par Dattier
mer. mai 22, 2019 11:42 am
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Je me suis trompé. $P'(x)=3x^2+2(a-b)x-(1+ab)$ donc on a 2 racines dans $\mathbb R$ $x_1=\dfrac{1}{3}(-a+b- \sqrt{a^2+ab+b^2+3})$ $x_2=\dfrac{1}{3}(-a+b+ \sqrt{a^2+ab+b^2+3})$ Il suffit de montrer que $P(x_1)\geq 0$, $P(x_2)\leq 0$ ce qui n'a pas l'air simple à prouver, si je trouve une chemin plus ...
par Dattier
mer. mai 22, 2019 3:36 am
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

btsix a écrit :
mar. mai 21, 2019 9:59 pm
Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?
SPOILER:
Prendre $a=2$ et $b=-2$ alors $P'>0$ donc $P$ strictement croissante d'où $P$ avec une seule racine réel d'ordre 1, donc non scindé dans $\mathbb R$
par Dattier
mer. mai 22, 2019 3:07 am
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Je pense que l'on a pas besoin de la continuité : Soit $a$ le point tel que $(f^n)_n$ converge simplement vers la fonction constante égale à $a$. $$||f(a)-a||-||f^{p+1}(a)-a||\leq ||f^{p+1}(a)-f(a)||\leq k(||f^{p+1}(a)-f^p(a)||+||f(a)-a||)$$ donc $$ (1-k)||f(a)-a|| \leq ||f^{p+1}(a)-a||+k||f^{p+1}(a...
par Dattier
mer. mai 22, 2019 1:03 am
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Effectivement une telle fonction n'est pas forcément continue prendre : $f$ fonction de $[0,1]$ dans les réels, tel que : $f(x)=0$ si $x \in [0,1[$ et $f(1)=1/20$ Alors $f$ vérifie l'inégalité ($k=1/3$) sans être continue, je n'arrive pas à trouver de fonction vérifiant l'inégalité et sans point fixe.
par Dattier
mar. mai 21, 2019 6:59 pm
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

289 : inégalité de Jensen+ (bis)
Soient $f \in C([0,1])$ et $g \in C^2(f([0,1]))$.
A-t-on $$\left|\int_0^1g(f(x))\text{d}x-g\left(\int_0^1 f(x) \text{d}x\right)\right| \leq 2 \max(|g''|)\times \max(|f|) \times (\max(f)-\min(f))$$
par Dattier
mar. mai 21, 2019 1:04 pm
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Re: Les dattes à Dattier

@Nabuco : Bravo.
par Dattier
mar. mai 21, 2019 12:36 pm
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Re: Les dattes à Dattier

oty20 a écrit :
mar. mai 21, 2019 10:31 am
Avez-vous une solution ?
Je rappelle mon objectif : c'est d'avoir des énigmes avec une solution de quelques lignes tellement astucieuses quelle résiste à la sagacité des cueilleurs.
par Dattier
mar. mai 21, 2019 12:27 pm
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Re: Les dattes à Dattier

les anciennes récoltes en pdf : https://drive.google.com/file/d/1aZB_2U6gqR_7KwUCAiNvXfHaniENgICH/view les fraîches (pas encore tombé) : - 38 : Inégalité de Jensen + - 44 : la fonction factorinus - 52,53 : une histoire de poids - 63 : doublement classique+ - 64 : une histoire de mod borné - 66 : équ...
par Dattier
mar. mai 21, 2019 11:56 am
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Re: Les dattes à Dattier

@Oty : 120 et 119 : Bravo

@Nabuco : 118 : Bravo
par Dattier
dim. mai 19, 2019 3:36 pm
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Re: Les dattes à Dattier

énoncé 287 : nombre phobique Un nombre en base $b$ est dit $a$-phobique, s'il n'existe pas de $a$ dans son développement en base $b$. Déterminer les nombres réels en base $2$ qui sont : a/ 01-phobique b/ 10-phobique énoncé 288 : nombre phobique Déterminer les nombres réels en base $2$ qui sont 00-p...
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dim. mai 19, 2019 2:52 pm
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Re: Les dattes à Dattier

énoncé 285 : nombre univers universel
Existe-t-il un nombre univers pour n'importe quelle base strictement plus grande que 1 ?

énoncé 286 : nombre non-univers
Existe-t-il un nombre irrationnel non univers pour n'importe quelle base strictement plus grande que 1 ?
par Dattier
dim. mai 19, 2019 2:38 pm
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

énoncé 283 : nombre univers $$U=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{2^{k(k-1)/2}}\times \dfrac{1}{5^{k(k+1)/2}}$$ $U$ est-il un nombre univers en base 10 ? énoncé 284 : suite de nombre univers Existe-t-il $(u_n)$ une suite injective de nombre univers qui tend vers un nombre univers ? Tout ceci en...
par Dattier
dim. mai 19, 2019 1:46 pm
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Re: Les dattes à Dattier

énoncé 281 : suite récurrente non linéaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n^2-1$. Calculer $u_{3^{2019}} \mod 2^{100}$.

énoncé 282 : suite récurrente non linéaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n^2+1$. Calculer $u_{3^{2019}} \mod 2^{100}$.
par Dattier
dim. mai 19, 2019 1:40 pm
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Re: Les dattes à Dattier

Bonjour,

énoncé 279 : suite récurrente non linéaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n^2+2u_n$. Calculer $u_{3^{2019}} \mod 2^{89}-1$.

énoncé 280 : suite récurrente non linéaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n^2-2u_n$. Calculer $u_{3^{2019}} \mod 2^{89}-1$.
par Dattier
sam. mai 11, 2019 5:56 pm
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Salut, Cela serait plus du genre olympiade à l'ancienne (énoncé cours avare en indication) (niveau max agreg), mais la plus part sont faisable avec le niveau MP, et pratiquement toutes les énigmes ont une réponse de quelques lignes, si vous dépassez les dix lignes dans la rédaction, c'est que certai...