300 résultats trouvés

par Errys
mer. juin 12, 2019 11:59 am
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Soit A un anneau de Boole fini ($ x^2 = x $ pour tout $ x $ de A). Montrer qu'il existe n tel que A soit isomorphe à l'anneau $ (Z/2Z)^n $
par Errys
dim. juin 09, 2019 11:12 am
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Exercices de MPSI

Soit $ G $ un sous-groupe additif strict de $ \mathbb{R} $. Montrer que son complémentaire est dense dans $ \mathbb{R} $.
par Errys
mer. juin 05, 2019 11:26 am
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Exercices de MPSI

Soit C l'ensemble des fonctions continues positives de [0,1]\to\mathbb{R} . On prend u\in C et on considère la fonction T qui à f\in C associe \left(\int_0^1 f, \int_0^1 f\times u\right) Trouver l'image de C par T. Soit E un \mathbb{C} espace vectoriel de dimension n. G un sous-groupe fini de GL(E)...
par Errys
mar. juin 04, 2019 11:01 pm
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

Algèbre : :) Pour toutes matrices $A,B\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z})$, a-t-on $\left( \text{det}(A) \wedge \text{det}(B) = 1 \right) \Rightarrow \left( \exists U,V\in\mathscr{M}_n(\mathbb{Z}), AU + BV = I_n \right)$ ? Notons a = \mathrm{det}(A), b = \mathrm{det}(B) , soient u,v entiers tels que au + ...
par Errys
mar. juin 04, 2019 1:47 pm
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

Trouver une série divergente ∑ Un et une série convergente ∑ Vn telles que Un ∼ Vn. Pas si évident que ça de trouver un contre-exemple ! Les suites ne peuvent pas être de signe constant sinon on est dans le cadre du théorème usuel. On prend donc u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} pour construire (v_n) ...
par Errys
lun. juin 03, 2019 8:50 pm
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

On dit qu'un anneau $ (A, +, \cdot) $ est de Boole si pour tout $ x\in A $ $ x^2 = x $. On peut monter que tout anneau de Boole fini est isomorphe à un anneau de la forme $ (P(E), \Delta, \cap) $. Montrer que le théorème est faux si on suppose A infini.
par Errys
lun. juin 03, 2019 8:34 pm
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

Peut-on trouver une fonction réelle dont l'ensemble des périodes strictement positives n'a pas de minimum ? Et si on ajoute la condition que cette fonction doit être continue ? Trouver une série \sum u_n de réels positifs qui converge mais telle que (u_n) n'est pas un o(1/n) Si on se donne une séri...
par Errys
lun. juin 03, 2019 8:28 pm
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

Un irrationnel exposant un irrationnel peut-il être rationnel ?
SPOILER:
Oui : si $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} $ est rationnel c'est bon, sinon on a : $ \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right) ^{\sqrt{2}}= \sqrt{2}^2= 2 $
Il me semble que cet exercice est dans le poly de transition entre la ts et la mpsi d'ailleurs.
par Errys
lun. juin 03, 2019 8:15 pm
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

Oh sympa comme fil ! Si j'ai des idées je posterai aussi quelques questions :D Trouver une suite (u_n) réelle bornée telle que u_{n+1} - u_n\to 0 mais qui ne converge pas. (-1)^n convient Soient \mathbb{K}\subseteq\mathbb{L} des corps et E un \mathbb{L} espace vectoriel de dimension finie. On suppo...
par Errys
dim. juin 02, 2019 10:23 pm
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Sujet : Intégral
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Re: Intégral

Tu es sûr que ce résultat est vrai ? On peut construire une fonction f positive intégrable et de carré integrable qui ne converge pas vers 0 : faire des pics de hauteur 1 et d'aire 1/n^2.
par Errys
dim. juin 02, 2019 10:03 pm
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

Soit f une fonction continue de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ? J'avoue que je ne peux pas fournir une explication de l'origine de mon exemple comme avant. On peut montrer que les fonctions qui peuvent s'écrire sous ce...
par Errys
dim. juin 02, 2019 7:05 pm
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

Soit f une fonction de [0,1] à valeurs réelles, peut-on écrire f comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante ? La reponse est non. On se fait l'intuition du résultat en remarquant qu'une fonction monotone est discontinue en un nombre au plus dénombrable de points donc f doi...
par Errys
dim. juin 02, 2019 11:51 am
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Approfondissement cours MPSI

Bonne idée ce fil ! Je poserai des questions qui me viennent de temps en temps :D Donner un exemple de polynôme P non constant à coefficient dans un corps \mathbb K tel que \mathrm{deg}(P')<\mathrm{deg}(P)-1 et donner une condition sur \mathbb K pour qu'une telle situation ne se présente pas. On peu...
par Errys
ven. mai 31, 2019 9:46 am
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Sujet : Exercices de MPSI
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Soit h : x \in [0;\frac{1}{2}] \mapsto f(x+\frac{1}{2})-f(x) Alors h(0)=f(\frac{1}{2})-f(0) et h(\frac{1}{2})=f(1)-f(\frac{1}{2})=-h(0) h continue change de signe sur [0;\frac{1}{2}] donc par le TVI \exists \alpha \in [0;\frac{1}{2}], f(\alpha + \frac{1}{2})=f(\alpha) Pour la généralisation une dém...
par Errys
mer. mai 29, 2019 2:08 pm
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Deux autres exos sympa sur les permutations :
1) Trouver le nombre minimal de transpositions qui engendrent $ S_n $
2) Montrer qu'il n'existe pas de morphisme injectif de $ S_n $ dans $ A_{n+1} $.