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Bonjour, 221 : série A-t-on $\sum \limits_{n \in \mathbb N^*} \dfrac{1}{n^2(n+1)}=\dfrac{\pi^2}{6}-1$ ? $$\sum \limits_{n \in \mathbb N^*} \dfrac{1}{n^2(n+1)} = \sum \limits_{n \in \mathbb N^*} \dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}$$ On reconnaît la somme des inverses des carrés et une somme...

1/ Qu'est-ce que tu fais si ce n=0 ? 2/ Quelles sont les 2 séries égales ? Il y a en effet une erreur dans les indices. Voici la preuve corrigée: -On remarque qu'on peut supposer la suite $a_k$ strictement décroissante. En effet, si deux termes sont égaux alors trouver les deux suites $(c_k)$ et $(...

Je ne précise pas trop mes réponses parce que latex est laborieux, mais voici ma réponse plus détaillé. -On remarque qu'on peut supposer la suite $a_k$ strictement décroissante. En effet, si deux termes sont égaux alors trouver les deux suites $(c_k)$ et $(c_k')$ devient très facile: on les prend ég...

Il est clair que $\sum c_ka_k$ ne dépasse pas $a_0$ par construction. Si $\sum c_ka_k < a_0$ alors $]\sum c_ka_k, a_0[$ n'est pas atteignable, ce qui contredit l'hypothèse.

217 : série continuement représentée Soit (a_k)_k \in (\mathbb R_+^*)^{\mathbb N} tel que $\sum \limits_{k=1}^\infty a_k=1$ et $\forall b \in [0,1], \exists (c_k)_k \in \{0,1\}^{\mathbb N}, b=\sum c_k\times a_k$. A-t-on $\exists (c_k),(c'_k) \in \{0,1\}^{\mathbb N}$ tel que $(c_k)\neq (c'_k)$ et $\...

Dattier a écrit : ↑

dim. sept. 23, 2018 9:02 pm

@Alvaare : bien vu
Mais ici, c'est $a \mathbb N+b \mathbb N$ qui nous intéresse.

En effet. Il faut alors rajouter la condition $ab<0$, n'est-ce pas?

215 : densité en dimension supérieur Soit n>1 . A-t-on $\exists a,b \in\mathbb R^n$ tel que $a\mathbb Z+b\mathbb Z$ dense dans $\mathbb R^n$ ? Non, on peut le voir pour $n=2$. Quitte à appliquer une rotation et une homothétie on peut supposer que le premier vecteur est $(1,0)$. Alors b est de la fo...

214 : Récurrence continu On cherche à montrer que \forall x \in \mathbb R, P(x) , avec les conditions : - $P(0)$ - $F=\{x \in \mathbb R \text{ ; } P(x)\}$ est fermé - $a,b\in\mathbb R$ et $\forall x \in \mathbb R$ si $P(x)$ alors $P(x+a)$ et $P(x+b)$. Trouver une condition suffisante sur $a,b$ pour...

Dattier a écrit : ↑

sam. sept. 22, 2018 7:34 pm

Dans ce cas, il me semble que c'est correct.

De toutes manières, le problème est invariant par translation de g, donc l'hypothèse g>=0 ne peut pas être nécessaire.

Dattier a écrit : ↑

sam. sept. 22, 2018 5:48 pm

A/ bravo

B/ J'ai un problème car on dirait que tu n'utilises pas le fait que g(t)>=0, or c'est important :
Prends par exemple $$\int_0^1 \sin(x-1-E(x-1))\text{d}x = -\int_0^1 \sin(x) \text{d}x$$

$\forall x \in [0; 1[, E(x-1)=-1$, non?

201 : pause A/ Soit $f \in C([0,1])$. A-t-on $$\forall n \in \mathbb N^*, \int_0^1 f(x) \text{d}x=\int_0^1 f(n \times x-E( n\times x))\text{d}x $$ ? B/ Soit $g,f \in C([0,1],\mathbb R_+)$. A-t-on $$ \int_0^1 f(x) \text{d}x=\int_0^1 \int_0^1 f(g(t)+x-E(g(t)+x))\text{d}x\text{d}t $$ ? Avec $E$ la par...

Dattier a écrit : ↑

sam. sept. 22, 2018 4:38 pm

207 : Miracle analytique ?
Soit $f$ injective et $k$-lipschitz de $\mathbb R^n$ dans lui même. A-t-on $f(\mathbb R^n)=\mathbb R^n$ ?

Non, on prend $n=1$ et la fonction $arctan$. On a $f(\mathbb{R})=]-\pi/2; \pi/2[$

Salut, 206 : Speedy Gonzalez 1 MP*+ Montrer en 2 lignes que si $f$ bijective continue de $\mathbb R^n$ dans lui même, alors $f^{-1}$ est aussi continue. Les énigmes marqués speedy Gonzalez, sont des classiques, qu'il faut prouver avec une preuve inédite trés courte. Cordialement. Soit $F$ un fermé ...

[/quote][/quote] Oui, alors disons qu'il faut prendre, q impair également. Plus un énoncé est général plus il est facile à montrer, et inversement. Ainsi si je donne l'énoncé génèrale sur lequel repose cette énigme cela devient trop simple, il suffit de vérifier que cela marche. 189 : même condition...

@Dattier, Mon contre-exemple marche encore avec vos hypothèses. Il suffit de prendre q=2 et b=2. Je ne vois absolument pas en quoi se base votre conjecture. Un exercice intéressant, surtout pour ceux/celles intéressé.e.s par la recherche, serait de trouver les hypothèses nécessaires (et non triviale...