163 résultats trouvés

par BobbyJoe
jeu. sept. 20, 2018 11:45 am
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Pour la (jamais :p) $203$ On considère $(X-x)(X-y)(X-z)=X^{3}-\sigma_{1}X^{2}+\sigma_{2}X-\sigma_{3}$ où les $\sigma_{i}$ sont les fonctions élémentaires symétriques de $x,y,z.$ L'inégalité désirée est alors avec ces notations $$\vert \sigma_{1}+\sigma_{3} \vert \leq \vert 1+\sigma_{2} \vert.$$ En é...
par BobbyJoe
ven. sept. 14, 2018 12:54 am
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

La relation du $195$ porte un nom (cf le livre de Tenenbaum par exemple), et il me semble que la notation officielle est $\Omega$...
On note $u_{n}=\Omega(v_{n})$ pour signifier $\vert u_{n} \vert \lesssim \vert v_{n} \vert$ et $\vert v_{n} \vert \lesssim \vert u_{n}\vert.$
par BobbyJoe
mar. sept. 04, 2018 9:48 pm
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Sujet : Polynômes scindés à racines simples
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Re: Polynômes scindés à racines simples

J'ai tout de même l'impression qu'il est possible de construire une telle suite (par des arguments perturbatifs!)
par BobbyJoe
dim. sept. 02, 2018 9:53 am
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Sujet : Exercice polytechnique
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Re: Exercice polytechnique

Sinon, il existe une preuve directe du résultat que tu cherches (les idées restent essentiellement les mêmes cependant). Prend une base orthornomée $\mathcal{B}$ de $E$ (on remarque que l'enveloppe convexe des éléments de cette base forme un convexe d'intérieur non vide : on appelle cela un polytope...
par BobbyJoe
jeu. août 30, 2018 9:56 pm
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Sujet : Je ne serai pas capable d'atteindre le cours les deux premier mois
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Re: Je ne serai pas capable d'atteindre le cours les deux premier mois

***Révise l'analyse réelle (de 1ère année), consolide avec les notions de convexité (voit les applications "classiques" : Inégalité de Jensen, Inégalité d'Hölder, Inégalité de Minkowski, Inégalité AGM : arithmético-géométrique...) *Ensuite, lis un cours sur les modes de convergence des séries de fon...
par BobbyJoe
mar. août 28, 2018 5:06 am
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Sujet : sous suites
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Re: sous suites

Toute suite bornée (de vecteurs, en dimension finie) admet une sous-suite convergente et ceci pour n'importe quelle norme (car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie). En revanche, le résultat devient carrément faux en dimension infinie! Exemple : Considérons $E=\ell^{2}(\mathbb{N})$...
par BobbyJoe
mar. août 28, 2018 2:48 am
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Il me semble pour reprendre l'idée de @Nabuco qu'il existe une formule d'inversion basée sur la fonction de Mobius $\mu$... Soit $(x_{k})$ et $(a_{k})$ sont deux suites (indéxées par $\mathbb{N}^{*}$) qui sont $\ell^1.$ Si pour tout $i\geq 1,$ $\sum\limits_{i|k}x_{k}=a_{i} \mbox{ i.e. } \sum\limits_...
par BobbyJoe
jeu. août 23, 2018 4:42 pm
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Sujet : Permutation
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Re: Permutation

Justement non, ce n'est pas vrai que pour $k\geq 1$, $f(k)\geq k.$ On peut par exemple penser à construire $f$ comme suit : sur l'ensmble des puissances $4-$ième, $f(n^{4})=n^{2}$ et ailleurs, $f=\phi$ où $\phi$ est une bijection de $\mathbb{N}^{*}\setminus (\mathbb{N}^{*})^{4}$ sur $\mathbb{N}^{*}\...
par BobbyJoe
jeu. août 23, 2018 2:44 pm
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Sujet : Permutation
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Re: Permutation

Le comme $f$ est injective nécessite un brin d'explication, si tu le désires! Comme $f$ est injective, alors $f$ envoie un ensemble de cardinal $n$ sur un ensemble de même cardinal. En particulier, l'image par $f$ de $\{n+1,\ldots,2n\}$ est un ensemble à $n$ éléments et donc $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\...
par BobbyJoe
jeu. août 23, 2018 12:15 pm
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Sujet : Permutation
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Re: Permutation

Pour répondre à la question $2)$ comme $f$ est injective alors $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\geq \sum_{k=1}^{n}k \sim \frac{n^{2}}{2}.$$ Mais alors pour $n\gg 1,$ $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{f(k)}{k^{2}}\geq \frac{1}{4n^{2}}\sum_{k=n+1}^{2n}f(k) \gg 1.$$ Ainsi, la série des $(u_{n})$ diverge car ne satisfait...
par BobbyJoe
jeu. août 23, 2018 12:09 pm
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Sujet : Permutation
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Re: Permutation

Je présume que tu veux dire une permutation de $\mathbb{N}^{*}$ (car une application injective, corestreinte à son image, est toujours une bijection). Non, ce type de résultat n'est valable que les deux ensembles au départ et à l'arrivée ont même cardinal fini ! Dans ton exemple, il suffit de consid...
par BobbyJoe
mar. août 21, 2018 4:48 am
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Pour l'exo manquant $174$! On considère pour tout $x\in [0,1],$ $$\phi_{n}(x)=f_{n}(x)-\int_{0}^{x}h(t)dt.$$ Par hypothèse (grâce à la minoration des dérivées), on a pour tout $x\geq y,$ $$\phi_{n}(y)\leq \phi_{n}(x).$$ En particulier, on a pour tout $x$ appartenant à $[0,1],$ pour tout $n\in \mathb...
par BobbyJoe
mar. août 14, 2018 7:15 am
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Au passage, vu qu'"absolument continue" implique "à variations bornées", il est sans doute de bon ton de donner un contre-exemple d'une fonction qui n'est pas "absolument continue" mais "à variations bornées"!
par BobbyJoe
mar. août 14, 2018 4:57 am
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Juste pour info : Pour le $168,$ il suffit de prendre une fonction qui n'est pas absolue continue (dont la dérivée faible n'est pas dans $L^{1}$). L'escalier du diable (i.e. la fonction de répartition de la loi uniforme supportée par le Cantor triadique) est un exemple de telle fonction, qui est pou...
par BobbyJoe
lun. août 13, 2018 4:22 pm
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

En effet, typiquement une fonction continue nulle part monotone... Mais bon, le point crucial est tout de même qu'une fonction à variations bornées est aussi dérivable en presque tout point donc bon... (c'est le point essentiel à mon avis pour produire la contradiction!)