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Pour l'exo manquant $174$! On considère pour tout $x\in [0,1],$ $$\phi_{n}(x)=f_{n}(x)-\int_{0}^{x}h(t)dt.$$ Par hypothèse (grâce à la minoration des dérivées), on a pour tout $x\geq y,$ $$\phi_{n}(y)\leq \phi_{n}(x).$$ En particulier, on a pour tout $x$ appartenant à $[0,1],$ pour tout $n\in \mathb...

Au passage, vu qu'"absolument continue" implique "à variations bornées", il est sans doute de bon ton de donner un contre-exemple d'une fonction qui n'est pas "absolument continue" mais "à variations bornées"!

Juste pour info : Pour le $168,$ il suffit de prendre une fonction qui n'est pas absolue continue (dont la dérivée faible n'est pas dans $L^{1}$). L'escalier du diable (i.e. la fonction de répartition de la loi uniforme supportée par le Cantor triadique) est un exemple de telle fonction, qui est pou...

En effet, typiquement une fonction continue nulle part monotone... Mais bon, le point crucial est tout de même qu'une fonction à variations bornées est aussi dérivable en presque tout point donc bon... (c'est le point essentiel à mon avis pour produire la contradiction!)

La formule de Bernouilli est la formule que t'a rappelée Bulquies (sa version homogénéisée...)

Pour la 165... J'imagine que cela était implicite mais certes, il est exact que j'aurais du citer ce résultat clairement!
Ce qui m'intringue en revanche est : est-il possible de produire une preuve de ces exercices (du moins le 165) en faisant appel exclusivement au programme de prépa?

***La réponse à la 164 est oui : car une fonction $\mathcal{C}^{1}$ est différence de deux fonctions croissantes (il suffit de considérer les parties positives et négatives de la dérivée de la fonction). On obtient le résultat de l'exercice en intégrant cette décomposition. ***La réponse à la 166 es...

Pour l'exercice $89,$ la réponse est oui! Notons $f$ et $g$ les limites uniformes respectives de $\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}$ et $\displaystyle (g_{n})_{n\geq 0}.$ ***Il faut tout d'abord remarquer ceci : pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $\delta,N$ tels que pour tout $x,y$ appartenant à $[0...

Qu'il existe une série convergente dont une puissance (entière fixée) du terme général donne une série divergente... Mais bof, comme exo :( Il nettement plus amusant de construire une suite complexe $\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}$ (qui n'est pas la suite nulle) telle que pour $k \in \mathbb{N}^{*}...

Le caractère réel de la suite est rarement un frein à trouver des contre-exemples! Vu qu'il existe des contre-exemples avec des suites complexes (pensez aux racines de l'unité!), la partie réelle ou la partie imaginaire de la série donne le contre-exemple (à vrai dire, on ne sait pas laquelle mais d...

On écrit pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $\displaystyle \cos^{3}(x)=\frac{1}{8}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^{3}=\frac{1}{4}\cos(3x)+\frac{3}{4}\cos(x).$ En considérant la série de Tg, pour $n\geq 2$ : $\displaystyle a_{n}=\frac{\cos(2n\frac{\pi}{3})}{\ln(n)}$ est convergente et donne le con...

Comme les espaces de Banach ou de Hardy? ^^ Oui... En effet... :p

Disons que les mathématiques de pointe -surtout la géométrie algébrique/théorie des nombres- (même avec toute la pédagogie et la clarté du monde) restent inacessibles pour des non-spécialistes!

Cette condition est superflue (dans le cas général)... Mais oui, je te crois qu'il existe une preuve "facile" avec cette condition artificielle!

Cette hypothèse ne sert à rien pour démontrer le théorème général (mais peut-être qu'il existe une preuve vraiment élémentaire avec mais je ne crois pas...)