Justement non, ce n'est pas vrai que pour $k\geq 1$, $f(k)\geq k.$ On peut par exemple penser à construire $f$ comme suit : sur l'ensmble des puissances $4-$ième, $f(n^{4})=n^{2}$ et ailleurs, $f=\phi$ où $\phi$ est une bijection de $\mathbb{N}^{*}\setminus (\mathbb{N}^{*})^{4}$ sur $\mathbb{N}^{*}\...

Le comme $f$ est injective nécessite un brin d'explication, si tu le désires! Comme $f$ est injective, alors $f$ envoie un ensemble de cardinal $n$ sur un ensemble de même cardinal. En particulier, l'image par $f$ de $\{n+1,\ldots,2n\}$ est un ensemble à $n$ éléments et donc $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\...

Pour répondre à la question $2)$ comme $f$ est injective alors $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\geq \sum_{k=1}^{n}k \sim \frac{n^{2}}{2}.$$ Mais alors pour $n\gg 1,$ $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{f(k)}{k^{2}}\geq \frac{1}{4n^{2}}\sum_{k=n+1}^{2n}f(k) \gg 1.$$ Ainsi, la série des $(u_{n})$ diverge car ne satisfait...

Je présume que tu veux dire une permutation de $\mathbb{N}^{*}$ (car une application injective, corestreinte à son image, est toujours une bijection). Non, ce type de résultat n'est valable que les deux ensembles au départ et à l'arrivée ont même cardinal fini ! Dans ton exemple, il suffit de consid...

Pour l'exo manquant $174$! On considère pour tout $x\in [0,1],$ $$\phi_{n}(x)=f_{n}(x)-\int_{0}^{x}h(t)dt.$$ Par hypothèse (grâce à la minoration des dérivées), on a pour tout $x\geq y,$ $$\phi_{n}(y)\leq \phi_{n}(x).$$ En particulier, on a pour tout $x$ appartenant à $[0,1],$ pour tout $n\in \mathb...

Au passage, vu qu'"absolument continue" implique "à variations bornées", il est sans doute de bon ton de donner un contre-exemple d'une fonction qui n'est pas "absolument continue" mais "à variations bornées"!

Juste pour info : Pour le $168,$ il suffit de prendre une fonction qui n'est pas absolue continue (dont la dérivée faible n'est pas dans $L^{1}$). L'escalier du diable (i.e. la fonction de répartition de la loi uniforme supportée par le Cantor triadique) est un exemple de telle fonction, qui est pou...

En effet, typiquement une fonction continue nulle part monotone... Mais bon, le point crucial est tout de même qu'une fonction à variations bornées est aussi dérivable en presque tout point donc bon... (c'est le point essentiel à mon avis pour produire la contradiction!)

La formule de Bernouilli est la formule que t'a rappelée Bulquies (sa version homogénéisée...)

Pour la 165... J'imagine que cela était implicite mais certes, il est exact que j'aurais du citer ce résultat clairement!
Ce qui m'intringue en revanche est : est-il possible de produire une preuve de ces exercices (du moins le 165) en faisant appel exclusivement au programme de prépa?