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Pour le sens direct, connais-tu la forme de Bernoulli (ou la formule d'une somme géométrique)? Pour la réciproque, on effectue la division euclidienne de $m$ par $n.$ On a alors $m=un+v$ pour un certain couple $(u,v)$ d'entiers tel que $0 \leq v <n.$ On écrit alors $$a^{m}-1=a^{un+v}-1=(a^{un}-1)a^{...

Un exercice amusant (maintenant à la lisière du programme de spé de MP car on y fait peu d'équa diff. et peu de dualité...) Soit $E$ sous-espace vectoriel de dimension finie de $\mathbb{C}^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R}).$ On suppose que $E$ est invariant par translation i.e. pour tout $f$ appartenant à ...

Il est possible qu'en connaissant le résultat on puisse trouver une preuve plus rapide... Introduisons pour $u$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ le polynôme $\displaystyle P(X)=\prod_{i=0}^{u}(X+i).$ Alors par une décomposition en éléments simples, on a $\displaystyle \frac{1}{P(X)}=\sum_{i=0}^{u}\fra...

Je dirais certes, tu veux être véto et donc il vaut mieux maximiser sa note au concours dans les matières fortement coefficientées... mais il s'agit d'un concours difficile et rien ne te garantis d'avoir une bonne note en bio! Il est plus facile de stabiliser sa note en maths pour gagner "facilement...

Le truc amusant est de construire une fonction dérivable en tout point qui n'est monotone sur aucun intervalle (les fonctions de type Cauchy-Pompéiu)
avec les raffinements qui vont avec (en choisissant la fonction lipschitzienne mais pas mieux...)

Pour ton avant dernier exemple, ce n'est pas vrai! C'est un théorème difficile de Gerver (sur la dite: "seconde fonction de Riemann") que cette fonction a précisément un ensemble de points de dérivabilité très spécial (le quotient de deux entiers impairs si mon souvenir est bon!) Voilà le genre de t...

Tu as oublié de compléter l'argument... car $ $$f$ n'est dérivable en aucun point bien qu'elle soit continue... Mais cela ne sent pas trop "l'exercice" jouable en sortie de terminale :p

Ces déterminants s'appellent "Déterminants de Hankel".
Ils interviennent notamment dans les problèmes de moments ou pour caractériser les nombres de Pisot (la nullité de ces déterminants permet de démontrer que la série génératrice associée est une fraction rationnelle), entre autres...

C'est encore une chaîne de Markov (s'il y "absence de mémoire" ou plus formellement que le processus vérifie la propriété de Markov (faible ou forte)) mais dans ce cas, elle est dite inhomogène...

On appelle cela des matrices d'ordre fini (pour le cas $ $$M^{2}=I_{n}$, on appelle cela des involutions)

Cette méthode marche tout le temps dès que la suite a une croissante sous exponentielle... Il suffit de connaitre un développement asymptotique de l'inverse (un équivalent suffit...), par intégration par parties... Exemples : $\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{\ln(u_{n})}$ ou pour $0<\alpha \leq ...

On peut procéder avec l'heuristique suivante (appelée analogie discret-continu), on cherche $f$ lisse telle que $f(n)\approx u_{n}.$ On peut considérer : $f'(n)\approx u_{n+1}-u_{n}.$ Compte-tenu de la relation sur la suite initiale, on est alors amener à regarder l'équation différentielle : $y'=e^{...

Mais il y a un truc étrange tout de même, non? : les élèves apprennent de choses super balèzes en TS : TCL, loi à densité mais ne savent pas additionner deux fractions :p
Les bons élèves du Turfu ^^ Ca s'appelle le progrès ^^

euh pourquoi? J'ai utilisé google comme d'hab ^^ Je savais que ce résultat était recensé quelque part, il s'agissait d'un exercice (d'une remarque plutôt) donné(e) lors d'un cours que j'avais suivi en master $2$ à Orsay, à l'époque. Finalement, il me semble qu'une preuve (mais fausse) est recensée d...

Il s'agit d'un lemme bien connu (troll?) des personnes qui font de la théorie géométrique de la mesure (je ne sais pas si ce résultat a été recensé dans la littérature auparavant!). Mettre un ordre partiel sur les courbes (pour les rendre plus "injective") et utiliser le lemme de Zorn en somme... La...