Pour le 128 : ici encore la réponse est non. On peut prendre $f_n$ telle que $f_n(x) = \frac1x$ pour $x \geq \frac1n$, nulle sur $\mathopen]-\infty;0\mathclose]$ et affine sur $[0;\frac1n]$.

Pour le 127 : il y a un théorème de Whitney qui montre que tout fermé de $\mathbb R$ est l'ensemble des zéros d'une fonction $C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$. Il suffit donc, pour répondre négativement à la question, de disposer d'un fermé non dénombrable d'intérieur vide, comme par exemple l'ensembl...

@Siméon : Comment vas-tu ? Mon petit doigt me dit que ce résultat devrait te plaire : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=912816#p912816 Salut Dattier. Tout va bien, et je vois que pour toi les récoltes continuent sans faiblir. Si tu veux me faire plaisir avec ce genre d'inégalité, il en faudra...

Petit problème d'énoncé sans doute : prends une fonction constante...

Je ne sais si ça t'aidera mais il est à mon avis important de comprendre que la convergence en probabilité ne dépend que de la suite de lois ${(P_{X_n - X})}_{n\in \mathbb N}$. Elle ne tient pas du tout compte des « dépendances » entre entre les variables (i.e. des lois jointes), contrairement à la ...

Ce n'est pas si compliqué. Sans perdre de généralité, on peut supposer que $\sup f = 1$. En utilisant la convergence vers $0$ en $+\infty$, on construit terme à terme une suite $(a_n)$ strictement croissante telle que $a_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb N,\ \sup_{x\geqslant a_n} f(x) \leqslant 2^{...

Cher humbleserviteur, que fais-tu de mon autre indication ? Le développement de Taylor de $f$ en $0$ s'exprime très simplement à partir de celui de $g$ (tu peux y penser en termes de développements limités). Tu obtiendras une condition nécessaire portant sur tous les $(f^{(2k+1)}(0))_{k\in \mathbb N...

Est-ce ok sur $\mathbb R_+^*$ ? En $0$, tu peux considérer le développement de Taylor-Young.

Supposons que $ au + bv = n $ avec $ (u,v) \in\mathbb Z^2 $, alors pour tout $k \in \mathbb Z,\ a(u-kb) + b(v+ka) = n$.
Il te reste à vérifier que si $ n > ab-a-b $, alors tu pourras toujours trouver $ k \in \mathbb Z $ tel que $ u-kb \geq 0 $ et $ v +ka \geq 0 $.

Ça m'a l'air juste ! Voici comment conclure l'autre approche : On note $\phi$ l'isomorphisme $S \to \mathrm{Im}\,f$ défini par restriction de $f$. Pour tout $(u,k) \in C(f|_{\mathrm{Im}\,f})\times \mathcal L(S,\mathrm{Ker}\,f)$, considère alors l'unique application linéaire $\Phi(u,k) \in\mathcal L(...