Compléments de cours pour ENS ?

[MiKiDe]

Bonjour,

Je cherche une liste non exhaustive d'approfondissements intéressants pour quelqu'un qui veut l'ENS (et qui est 5/2, donc j'ai le temps d'approfondir !).

Pour info, je compte passer par le concours MPI, donc il me faudrait des idées d'approvisionnement :

- en maths
- en info
- en physique ssi c'est utile pour l'écrit seulement.

Je vous remercie par avance !

[MATHADOR]

Quelques idées en vrac pour les maths :
- ensemble quotient et factorisation d'une application constante sur les classes
- actions de groupe (formule des classes, coloriages, lemme de Cauchy...)
- décompositions de Dunford et Frobenius
- application linéaire transposée (définition avec les espaces duaux, lien avec la matrice transposée, caractérisation de la stabilité de l'orthogonal...)
- décomposition polaire
- décomposition de Bruhat
- continuité des racines d'un polynôme
- endomorphismes cycliques
- endomorphismes simples et semi-simples
- dénombrement des surjections
- dénombrement des dérangements
- dénombrement des automorphismes diagonalisables sur un corps fini
- dénombrement des endomorphismes nilpotents sur un corps fini
- exponentielle matricielle (surjectivité de la corestriction aux matrices inversibles, difféomorphisme entre les matrices nilpotentes et unipotentes, ...)
- suites de Cauchy et complétude
- reprendre tout ton cours sur les evn (si ce n'est pas fait) et regarder ce qui se conserve et ce qui change si on se place dans le cadre plus général des espaces métriques
- limites supérieures et inférieures (existence, lien avec les valeurs d'adhérence, caractérisation de la limite, même chose pour les ensembles, lemme de Borel Cantelli en probas, ...)
- lemme de Fekete pour les suites sous-additives
- lien evn espace métrique, tout espace métrique est isométrique à une partie d'un evn
- fonction de Weierstrass
- ensemble triadique de Cantor
- théorèmes de Dini
- transformation d'Abel
- théorème de réarrangement de Riemann pour les séries semi-convergentes
- compacité au sens de Borel-Lebesgue et lien avec la compacité séquentielle
- différentielle du déterminant
- théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites
- théorème de Baire et ses multiples applications (non dénombrabilité de R, un evn admettant une base dénombrable n'est pas un Banach, inexistence d'une fonction continue sur Q et discontinue sur R\Q, l'ensemble de continuité d'une dérivée est dense, théorème de Sunyer et Balaguer, ...)
- lemme d’Urysohn
- fonctions semi-continues inférieurement et semi-continues supérieurement
- fonctions réglées

Enfin, d'autres choses intéressantes, mais uniquement si t'es vraiment à l'aise, pas vraiment utiles (bien que rien ne soit inutile) pour les concours :
- réfléchir aux résultats qui perdurent et changent dans ton cours d'algèbre linéaire si tu remplaces partout le corps K par un anneau commutatif A
- de même en topologie des evn, les résultats que tu connais (genre l'équivalence des normes en dimension finie) perdurent-ils si tu remplaces par exemple R par d'autres corps...
- interprétation de la formule de Taylor pour les polynômes via la dualité
- condition nécessaire et suffisante pour qu'un ev soit isomorphe à son dual
- utilisation des tableaux de Young pour la réduction
- recensement des situations du programme dans lesquelles une formule du type "crible" (cardinaux finis, fonctions caractéristiques, probabilités discrètes, ...) a un sens et essayer de formaliser la situation générique
- équivalence axiome du choix - Zermelo - Zorn
- ultrafiltres et application à la démonstration qu'un produit de compact est toujours compact
- ordinaux, récurrence transfinie
- axiome du choix versus axiome de détermination pour la culture
- plus généralement, essayer lorsque c'est possible, de "minimiser au maximum" les hypothèses des théorèmes (voire des définitions) importants du programme (par exemple, l'IAF reste vraie en utilisant uniquement la dérivée à droite (ou à gauche) sur le complémentaire d'une partie dénombrable, le théorème de Mertens pour les produits de Cauchy, la commutativité de l'addition dans la définition d'un anneau ou d'un ev est superflue, on peut démontrer qu'une distance ou une norme est positive, ...)

J'ai écrit ça rapidement en retranscrivant ce qui me vient en tête lorsque je pense à des trucs sympas dans l'adhérence du programme de prépa. Je me rends compte que c'est assez hétérogène au niveau de la difficulté, pioche selon tes intérêts.

[MiKiDe]

Merci beaucoup pour cette réponse, dont le contenu me semble bien intéressant !

Je vais regarder tout ça et suivre tes conseils pour approfondir un peu le cours.

Est-ce que vous auriez un cours en ligne/un bouquin à me conseiller pour voir tout ça ?
Peut-être d'autres auraient encore d'autres propositions ?

[MATHADOR]

Les Gourdon, il doit y avoir pas mal des choses précédemment citées. Sinon sur Internet.

[MiKiDe]

D'accord, merci beaucoup !

Sinon, pour revenir au reste:

- En physique, c'est utile le hors programme ?
- En option info, avez vous un cours bien pour préparer une ENS concours INFO/MPI ? (je connais que celui de LLG, qui contient pas mal de compléments, mais j'ai du mal avec les programmes proposés, je les trouve un peu "trop compliqués pour rien" parfois, du genre pour le BFS/DFS c'était bien trop long tout ça pour éviter de faire un "rev liste" à la fin...).

[gonfricks]

@MATHADOR ,je me demandais si vous aviez appris tout cela durant vos années de prepas ?

[MATHADOR]

Non, j'ai également et heureusement appris des trucs après la prépa. Mais dans l'autre sens, il y a aussi des choses HP que j'ai apprises à l'époque et qui ne figurent pas dans cette liste. J'avais notamment fait beaucoup de hors programme en algèbre générale et en topologie alors qu'au final ça ne sert pas beaucoup aux concours (d'ailleurs il y a en a peu dans la liste ci-dessus).

[JulienLB]

Bonjour,

Pour la physique, le hors programme peut bien entendu servir. Sachant que le hors programme d aujourd'hui était le programme d avant 2013, n'hésitez pas à vous entraîner à faire des "vieux" sujets. Il n'est pas rare de voir aujourd'hui des sujets abordants les phénomènes de marée ou les coniques en gravitation alors que tout cela n'est explicitement plus au programme.

Le hors programme de MP peut aussi être le programme de PC ou de PSI. Les PSI de cette année ont eu un sujet complet à ULM de mécanique quantique alors qu'il n'y a pas de mécanique quantique en PSI... de même le sujet de MP de cette année abordait des notions de mécanique des fluides qui peuvent être vus en PC ou PSI. Il y aussi eu cette année en PC un sujet sur les ondes gravitationnelles, ce qui était le thème d'un sujet de l'X/ENS de PSI de 2017.
Bref entrainez vous sur les sujets d autres filières (et pas uniquement X/ENS)

[saysws]

Merci beaucoup pour cette réponse, dont le contenu me semble bien intéressant !

Je vais regarder tout ça et suivre tes conseils pour approfondir un peu le cours.

Est-ce que vous auriez un cours en ligne/un bouquin à me conseiller pour voir tout ça ?
Peut-être d'autres auraient encore d'autres propositions ?

Je dirais que Mathador a oublié :
-les formes quadratiques
-la réduction des endomorphismes normaux
-quelques théorèmes autour de la convexité : Projection sur un convexe fermé, Hahn-Banach... (j'ai eu a les montrer a mon oral des ENS..)
-Raab-Duhamel (certainement du cours en MP* mais on sait jamais...)
-Tout ce qui tourne autour des endomorphismes / matrices symétriques (définis ou non) positives. Pareil, c'est généralement du cours mais on sait jamais.
-le théorème de Wald (proba)
-le rayon spectral et ses propriétés (ultra classique)
-normes subordonnées et ce qu'on en fait (idem)
-théorème de Riesz, un hyperplan est soit fermé soit dense etc. Bref les résultats utiles de topologie en dimension infinie, il y en a beaucoup.
-Théorème de Gauss-Lucas
-Théorème de Poincaré (calcul diff)

Et je rajouterais peut être des trucs demain. Je me rend compte qu'il y a beaucoup (trop) de choses

Je suis plutôt d'accord sur le reste, même si j'avoue qu'il y a deux ou trois trucs qui me disent rien, mais bon j'étais pas en MP moi

Pour la physique effectivement du côté des programmes de PC et de PSI il y a de quoi faire mais il faut surtout faire des sujets. Pendant mes deux semaines de révision avant les écrits pour ma part en physique j'avais fais 4 6h d'Ulm, un Lyon et une compo d'agrég. En choissisant bien on balaye plein de choses (le sujet d'Ulm de PSI sur les OG qui c'est révélé si utile )

[Mathoss]

Bonjour,
La liste fournie par Mathador me permet vraiment de situer mon avancée actuelle, c'est très intéressant.
Je suis à la recherche d'un bon cours d'analyse afin de traiter le calcul différentiel ainsi que l'intégration (on m'a proposé le cours de Le Gall avec une introduction à la théorie de la mesure mais j'ai du mal à réaliser son intérêt réel).
Au delà du Gourdon et des Cassini, y aurait-il des épreuves remarquables que vous auriez à conseiller pour approfondir les différents blocs du programme?
(Je note Ulm PSI sur les OG :hap:)