TIPE transport modele

Une petite question sur votre TIPE...

Modérateurs : Marc Ménétrier, Th. Zabulon

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vladimir
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TIPE transport modele

Message par vladimir » lun. mai 07, 2018 7:47 pm

Bonjour,
Je suis en MPSI, j'ai commencé les dits TIPE il y a de ça quelques mois maintenant, et je me suis vaguement intéressée à la modélisation du trafic routier.
C'est un thème plutôt courant, mais d’après ce que j'ai compris, l'originalité ne paye pas si souvent que ça (dites moi si je me trompes ahah). Seulement, il me semble que les analogies sont surtout basés sur les fluides, qui ne sont que brièvement abordés en MP, ou en tous cas, trop peu par rapport aux autres CPGE scientifiques pour que l'on soit, disons, compétitifs (nos profs nous ont vraiment rabâché ça). Alors je me demandais est ce qu'il existe des modèles pour lesquels la mécanique des fluides ne constitue pas l'élément central ?
Aussi, j'adore tout ce qui est analogie (mécatronique par exemple) qui peuvent (je pense) déboucher sur des modélisations passionnantes, et si quelqu'un a des idées de tipe dans ces horizons (certes vagues, pardon pardon), je suis preneuse ahah

matmeca_mcf1
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Re: TIPE transport modele

Message par matmeca_mcf1 » lun. mai 07, 2018 8:01 pm

Il n'y a pas besoin de comprendre toute la méca flu. On peut le faire en 1D seulement avec une équation du type
équation de masse. Avez-vous l'équation de conservation de la charge en MPSI? Ici l'équation de conservation du nombre de voiture est
$$
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho v(\rho)}{\partial x}=0
$$
\( \rho\mapsto v(\rho) \) est une fonction connue (décroissante et concave) qui donne la vitesse d'une voiture en fonction de la densité de voitures.

Cependant cela peut vite devenir compliqué, avec des maths plutôt différentes des maths de prépas. Il faut d'abord comprendre la méthode des caractéristiques sur les équations d'advections de type
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0
$$
avec \( a \) constant puis dépendant de \( t,x \). Puis la comprendre pour l'équation de Burgers
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u^2/2}{\partial x}=0
$$
Voir que des chocs peuvent se former, définir le concept de solutions faibles. Récupérer la condition de Rankine Hugoniot. Étudier les ondes de raréfaction. Comprendre intuitivement la notion de solution entropique et le pourquoi de la condition de Lax. Et il y a les schémas numériques si on veut faire des simulations. Tout ce dont vous avez besoin devrait être dans le Randall Leveque Conservation Laws mais c'est probablement très rude pour un taupin.

Êtes-vous à l'aise en calcul différentiel multi-variables? C'ets nécessaire pour bien saisir la méthode des caractéristiques.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

vladimir
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Re: TIPE transport modele

Message par vladimir » lun. mai 07, 2018 10:22 pm

La conservation de la charge on s'en sert d'une façon un peu "principe théorique" en électrocinétique, mais concrètement je n'ai pas vu d’équation de ce type. Quant aux equa diff a plusieurs variables, il me semble que ce n'est pas dans l'esprit actuel du programme de maths, mais on a du en faire en informatique, et ça doit être nécessaire pour le programme de physique en deuxième année de toutes façons, donc ça ce n'est peut être pas une si grosse barrière !
Merci bcp pour ta réponse super complète :)

Yoz
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Re: TIPE transport modele

Message par Yoz » mer. mai 09, 2018 6:47 pm

Tu verras l'équation de conservation de la charge en deuxième année, ne t'en fais pas.
En fait, tu aurais presque intérêt à faire un TIPE de maths (comme ce que suggère matmeca), certes sur un sujet qui touche un peu à la Physique.
Y'a largement de quoi faire sur les EDP de transport, même si ça va sans doute arracher un peu. Les EDP c'est un peu l'équivalent de Satan en mathématiques...

Tu auras sans doute un peu de mal à rentrer dans le vif du sujet en sup, mais normalement les EDP, lois de conservation & Co arrivent très vite dans la Physique de spé. En attendant, tu peux en revanche chercher une problématique et un sujet plus précis et regarder qualitativement les différents choses que tu pourrais faire.

Les simulations d'EDP sont faisables en prépa en s'accrochant un peu (... et en y consacrant suffisamment de temps). C'est pas tellement l'esprit du programme, mais je me souviens que j'avais fait un TP d'info sur l'équation de la chaleur en prépa.
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vladimir
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Re: TIPE transport modele

Message par vladimir » jeu. mai 10, 2018 3:43 pm

Il me semble en effet plus judicieux de faire un tipe d'avantage axé mathématique que physique, et ce serai vraiment super si je pouvais le faire avec ce thème qui possède le coté concret disons euh attrayant de la physique. Je vais parler des EDP à mes profs, et leur demander si c'est envisageable à notre niveau ! merci beaucoup :)

matmeca_mcf1
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Re: TIPE transport modele

Message par matmeca_mcf1 » jeu. mai 10, 2018 3:59 pm

La première à chose à comprendre sur ces équations est la méthode des caractéristiques.

Considérons l'EDP d'advection (de transport)
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+a(t,x)\frac{\partial u}{\partial x}=0
$$

$$
u\colon:\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\(t,x)\mapsto u(t,x)
$$
est l'inconnue. On y adjoint la condition initiale
$$
u(0,x)=u_0(x)\quad\text{pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$}.
$$

On pourrait prendre \( a \) constant pour simplifier. Dans la méthode des caractéristiques, on commence par chercher les courbes le long desquelles les solutions à cette EDP sont constantes. Soit \( X_\omega \) une fonction d'une seule variable. Le but est de trouver des conditions suffisantes sur \( X_\omega \) pour que toute solution \( u \) à l'EDP ci-dessus \( \phi_\omega\colon s\mapsto u(s,X_\omega(s)) \) soit constante.

On calcule alors, en utilisant la règle de dérivation en chaîne:
$$
\phi_\omega'(s)=\frac{\partial u}{\partial t}(s,X_\omega(s))+X_\omega'(s)\frac{\partial u}{\partial x}(s,X_\omega(s))
$$

Et on obtient l'équation de la caractéristique:
$$
X_\omega'(s)=a(s,X_\omega(s))
$$
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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