TIPE de maths pures

[Errys]

Bonjour, je suis en sup et je vais bientôt devoir commencer à chercher des idées pour mon TIPE. J'aimerai faire un TIPE de maths pures, avec pourquoi pas de l'informatique, mais j'ai l'impression que les TIPE d'informatiques sont tous les mêmes et je doute pouvoir faire quelque chose d'original. Ce serait plutôt un TIPE pour l'ENS donc je ne cherche pas à me rattacher au thème "l'océan" qui n'ouvre pas beaucoup de portes en maths pures (ou du moins, qui m'intéressent).
Ainsi, plusieurs domaines me viennent à l'esprit et je viens pour vous demander si certains thèmes sont intéressants pour un TIPE et ne se resumeraient pas à un exposé.
J'aimerai profiter du TIPE pour découvrir un domaine des maths pas forcément étudié en prépa et qui m'intéresse.

- Pour l'instant, faire un TIPE de logique ou de théorie des ensembles m'intéresse beaucoup. J'avais passé pas mal de temps pendant les grandes vacances et au début de l'année sur la logique, en m'intéressant notamment à l'axiome du choix, j'avais adoré un sujet qui demandait de prouver le lemme de Zorn à partir de l'axiome du choix. Puis qui s'intéressait aux conséquences du lemme de Zorn, sur les espaces vectoriels de dimensions infinis ou aux ensembles infinis.
J'avais aussi adoré tous les exercices de début d'année sur le dénombrement infini, même si c'est un peu éloigné de ce dont j'ai parlé au dessus
Ainsi, avez-vous déjà vu des TIPE de logique ou de théorie des ensembles à l'ENS ? Auriez-vous des ouvrages que je pourrais lire et qui pourraient me donner des idées pour un thème ?

- J'adore l'analyse, et je pensais faire un sujet dessus même si je penche plus sur la logique pour l'instant. Je me suis intéressé à la théorie de la mesure et je trouve ça très intéressant. Ce qui me paraît naturel pour faire un TIPE sur la théorie de la mesure est de faire un TIPE de probabilités, mais je ne connais pas du tout le domaine (j'ai acheté pour Noël le libre "l'essentiel en théorie des probabilités" de Jean Jacod et Philip Protter que j'aime beaucoup)
Les deux autres domaines qui m'intéressent sont la topologie et l'analyse complexe. J'ai un peu étudié la topologie dans différents livres (topologie générale et espaces métriques) mais je n'ai jamais étudié l'analyse complexe (le livre Complexe and Real Analysis de Rudin m'intéresse beaucoup mais je pense que c'est un peu trop poussé pour l'instant). Ainsi, avez-vous déjà vu des sujets de TIPE qui s'intéressent à ces domaines ?

Je sais que c'est un peu vague, mais j'ai vraiment hâte de commencer à faire mon TIPE et j'aimerai bien commencer à lire de la littérature sur un sujet intéressant pour un TIPE le plus tôt possible.

[JeanN]

Discute avec ton prof de maths directement et commence par lire les rapports du jury des ENS. A mon avis, l'axiome du choix n'est pas un très bon thème de TIPE.

[Errys]

Merci pour votre avis, j'en parlerai à mon professeur.

[siro]

Analyse + Océan = méca flotte. Et autour de Navier Stokes et ses dérivées y’a moyen de faire des TIPE bien fendards. Si tu veux t’amuser... (je crois même qu’on peut trouver de la théorie des nombres avec Navier Stokes)

[matmeca_mcf1]

En analyse fonctionnelle (donc des maths pures utilisées en maths appliquées), on peut utiliser la théorie de l'interpolation (J ou K) pour construire les espaces de Besov qui sont utilisés pour Navier Stokes. Mais ce serait beaucoup trop difficile pour un taupin.

[Errys]

Merci pour les idées

[MATHADOR]

J'avoue que le thème est bien pourri. Pour l'ENS tu peux parfaitement faire un TIPE sur la théorie des ensembles et l'axiome du choix, c'est en plus super intéressant et vraiment formateur (niveau manipulations brutes de quantificateurs, logique, etc.). Tes profs en ont déjà vu et on peut obtenir d'excellentes notes sans avoir le prétexte de l'expérience ou du programme informatique (bien que ce soit possible). Le lien entre Zorn et AC c'est trop trivial (bien que ce soit un résultat non trivial) pour un TIPE (c'est une ou deux parties d'un DM de sup), mais tu pourras tout de même l'évoquer et c'est intéressant à montrer au moins une fois dans sa vie. En moins classique, tu peux regarder du côté de l'axiome de détermination. Pour aller plus loin, tu peux t'intéresser à la consistance d'AC et de sa négation (technique de forcing). Plus modestement, tu peux déjà cette année t'intéresser aux différentes formulations d'AC (et ses formes moins fortes) ainsi que son "empreinte" sur l'ensemble du programme (et au hasard, que se passe-t-il si on remplace AC par un autre axiome, quelles étrangetés obtient-on ?).

Pour la théorie de la mesure, ça risque d'être un peu trop "recopie d'un cours de L3" pour un TIPE, bien que ce soit encore possible (il suffit justement de ne pas recopier un cours de L3). Pour faire le pont avec la partie précédente, regarder en quoi exhiber une partie non mesurable de $ \mathbf R $ devient impossible si on suppose l'axiome de détermination.

Pour la topologie générale, il y a l'option des filtres/ultrafiltres (et encore re AC) et encore le lien avec la première partie. Là aussi il y a eu au moins un TIPE sur le sujet à LLG.

[Errys]

Merci pour toutes ces pistes je vais regarder tout ça ! C'est ce que je craignais pour la théorie de la mesure, ça risque de trop faire exposé... Les filtres et ultrafiltres c'est une bonne idée j'avais complétement oublié, troesch avait fait un dm sympa sur le sujet il y a quelques années, je regarderai.
Je pense que cette année je vais lire un cours de logique, ça pourra me donner des idées et des rudiments de logique. j