Exercices d'arithmétique !

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Thaalos
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Thaalos » dim. sept. 20, 2009 3:09 pm

J'avais pas pensé à cette identité...
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esta-fette
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par esta-fette » dim. sept. 20, 2009 5:43 pm

Démontrer que \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} est rationnel.


Bonjour à tous.....

Quand j'ai indiqué mon identité (avec une faute sur le signe)
c'était si on le désire le théorème de Wilson si on le désire ou aussi le théorème d'Euler qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....
j'ai la mauvaise habitude de redémontrer les théorèmes que j'utilise....

pour cet exercice, il me fait penser à la méthode de Cardan....

c'est peut-être la solution d'une équation du 3ème degré....
mais je n'ai pas encore cherché....

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Asymetric
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » dim. sept. 20, 2009 5:56 pm

esta-fette a écrit :
Démontrer que \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} est rationnel.


Bonjour à tous.....

Quand j'ai indiqué mon identité (avec une faute sur le signe)
c'était si on le désire le théorème de Wilson si on le désire ou aussi le théorème d'Euler qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....
j'ai la mauvaise habitude de redémontrer les théorèmes que j'utilise....

pour cet exercice, il me fait penser à la méthode de Cardan....

c'est peut-être la solution d'une équation du 3ème degré....
mais je n'ai pas encore cherché....


Non ce n'est pas la méthode de Cardan.
Et la réponse a été donnée dans les messages précédents :D
Toute grandeur mesurable est valeur propre d'un endomorphisme.
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Thaalos » dim. sept. 20, 2009 6:13 pm

esta-fette a écrit :qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....

De la même façon ?
Wilson :
\( \Rightarrow \) : Si p est premier, alors \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) est un corps, dans ce corps, seuls 1 et -1 sont leurs propres opposés, donc on a \( 2.3...(p-2) \equiv 1 [p] \), et donc \( (p-1)! \equiv -1 [p] \).
\( \Leftarrow \) : Si p un entier vérifie \( (p-1)! \equiv -1 [p] \), on a donc \( (p-1)! + 1 = bp \), ainsi, \( bp + (p-1)! = 1 \), et en remarquant que \( \forall k \in \{1,...p-1\}, (p-1)! = kv, v \in \mathbb{Z} \), on a le théorème de Bézout qui nous dit que p est premier avec tous les entiers inférieurs à lui, d'où le résultat p premier.

Euler :
Soit a tel que \( pgcd(a,n) = 1 \). \( a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{*} \), et donc comme \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{*} \) est un groupe, l'ordre de a divise \( \varphi(n) \), d'où \( a^{\varphi(n)} \equiv 1 [n] \).

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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par esta-fette » dim. sept. 20, 2009 6:32 pm

Asymetric a écrit :
esta-fette a écrit :
Démontrer que \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} est rationnel.


Bonjour à tous.....

Quand j'ai indiqué mon identité (avec une faute sur le signe)
c'était si on le désire le théorème de Wilson si on le désire ou aussi le théorème d'Euler qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....
j'ai la mauvaise habitude de redémontrer les théorèmes que j'utilise....

pour cet exercice, il me fait penser à la méthode de Cardan....

c'est peut-être la solution d'une équation du 3ème degré....
mais je n'ai pas encore cherché....


Non ce n'est pas la méthode de Cardan.
Et la réponse a été donnée dans les messages précédents :D


\( x= \sqrt[3] {(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} \)
\( u=\sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} \)
\( v=\sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} \)
\( u^3 + v^3 = 36 \)
\( u^3 v^3 = -1 \)
\( x= u+v \)

\( x^3= u^3+v^3+ 3uv x \)
donc
\( x^3=36-3x \)
\( x^3+3x-36=0 \)

si , mon calcul est bon et mais mon cerveau est un peu trop rouillé....

il faut trouver x = 3, la seule solution....
donc x^3-3x-36=0
Modifié en dernier par esta-fette le dim. sept. 20, 2009 6:50 pm, modifié 3 fois.

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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » dim. sept. 20, 2009 6:41 pm

esta-fette a écrit :
\( x= \sqrt[3] {(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} \)
\( u=\sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} \)
\( v=\sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} \)
\( u^3 + v^3 = 36 \)
\( u^3 v^3 = -1 \)
\( x= u+v \)

\( x^3= u^3+v^3+ 3uv x \)
donc
\( x^3=36-x \)
\( x^3+x-36=0 \)

si mon calcul est bon et si mon cerveau n'est pas trop rouillé....


Hmm ok. Par contre tu as fais une erreur, c'est plutôt : \( x^3 + 3x - 36 = 0 \).
Toute grandeur mesurable est valeur propre d'un endomorphisme.
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Zweig » dim. sept. 20, 2009 6:46 pm

[spoiler]Non ce n'est pas la méthode de Cardan.
Et la réponse a été donnée dans les messages précédents[/spoiler]

Si, on peut utiliser la méthode de Cardan ..... Cf : esta-fette.
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » dim. sept. 20, 2009 6:50 pm

Zweig a écrit :[spoiler]Non ce n'est pas la méthode de Cardan.
Et la réponse a été donnée dans les messages précédents[/spoiler]

Si, on peut utiliser la méthode de Cardan ..... Cf : esta-fette.


Oui oui...
Toute grandeur mesurable est valeur propre d'un endomorphisme.
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par esta-fette » lun. sept. 21, 2009 2:35 pm

Thaalos a écrit :
esta-fette a écrit :qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....

De la même façon ?
Wilson :
\( \Rightarrow \) : Si p est premier, alors \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) est un corps, dans ce corps, seuls 1 et -1 sont leurs propres opposés, donc on a \( 2.3...(p-2) \equiv 1 [p] \), et donc \( (p-1)! \equiv -1 [p] \).
\( \Leftarrow \) : Si p un entier vérifie \( (p-1)! \equiv -1 [p] \), on a donc \( (p-1)! + 1 = bp \), ainsi, \( bp + (p-1)! = 1 \), et en remarquant que \( \forall k \in \{1,...p-1\}, (p-1)! = kv, v \in \mathbb{Z} \), on a le théorème de Bézout qui nous dit que p est premier avec tous les entiers inférieurs à lui, d'où le résultat p premier.

Euler :
Soit a tel que \( pgcd(a,n) = 1 \). \( a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{*} \), et donc comme \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{*} \) est un groupe, l'ordre de a divise \( \varphi(n) \), d'où \( a^{\varphi(n)} \equiv 1 [n] \).

Les preuves, bien élémentaires, ne sont pas les mêmes.


Bonjour....

Le théorème de Wilson peut par exemple se démontrer en utilisant les ordres des éléments:

soit p un nombre premier, Z/PZ est un corps et (Z/pZ)* est cyclique.....
donc engendré par un élèment a...

tous les élèments de (Z/pz)* sont de la forme \( a^k \)
donc le produit de ces élèments est \( a^{\frac {n (n-1)} 2} \)

en sachant que a^n = a
le produit est \( a^{\frac {(n-1)} 2} \) = -1 (en fait l'erreur que j'avais faite était dans cette évaluation...)

ou alors on peut utiliser le fait que x^p-x admet comme racines, toutes les racines de Z/pZ...

Pour le théorème d'Euler, on peut utiliser le fait que si a est premier avec n alors a est inversible dans Z/nZ
ou alors le

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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » sam. sept. 26, 2009 4:11 pm

Quelqu'un a une idée sur le calcul de ça :

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n}{cos(sin(kx)) \) où \( x \) est un réel.
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par FeynmaN » sam. sept. 26, 2009 4:37 pm

Je crois qu'il faut determiner d'abord la somme de cos(a_i) avec i variant de 1 à n.. Si on trouve ça, alors le problème va être réglé il me semble.
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Thaalos » sam. sept. 26, 2009 7:03 pm

J'avoue que cette somme me laisse perplexe...
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par YLS » sam. sept. 26, 2009 7:22 pm

Suggestion (qui ne m'a pas aidé à trouver quoi que ce soit pour autant) : utiliser les formules de dérivée/primitive de fonctions composées. Mais le terme général après transformation n'est pas vraiment plus joli.
HEC-ENSAE (2010-2015)
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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par esta-fette » sam. sept. 26, 2009 8:52 pm

\( cos (e^{\frac {ikx}{2i}}-e^{\frac {-ikx}{2i}} )= cos (e^{\frac {ikx}{2i} })cos (e^{\frac {-ikx}{2i}})-sin (e^{\frac {ikx}{2i}}) sin (e^{\frac {-ikx}{2i}) \)
et on essaye de se débrouiler avec cela..
est-ce que ça aide ?

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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par davfr » sam. sept. 26, 2009 9:17 pm

On peux l'encadrer facilement par contre... comme 1 > sin kx > -1, 1 > cos(sin(kx)) > cos(1) = 0,54 et des poussières..
C'est marrant comme des choses qui semble facile(=la formule est super courte), sont parfois assez complexe... D'ailleurs, utiliser les complexes n'arrangent pas trop la chose, on dirait... Mais, peut-être que, par transformation, on pourrait arriver à quelques choses de simple..bonne chance :P
2008/2009 - Lycée Victor Hugo - Terminale S.
2009/2010 - Lycée Fénelon - MPSI.

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