Avertissement aux terminales déjà imbus du peu de science qu'ils connaissent : ces exos ne sont ni originaux, ni intéressants, ni difficiles, ni HP etc. Pire : ils sont faisables rigoureusement avec vos outils
. En particulier, aucun résultat provenant de la théorie de Galois n'est nécessaire à leur résolution. En revanche, ils ont l'immense prétention de vous encourager à vous demander comment utiliser ce que vous connaissez pour explorer des problèmes.1. Le lapin qui traverse une route.
Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est-à-dire . . . 30 km/h ! L’avant du camion est représenté par le segment $ \left[CC'\right] $ sur le schéma ci-dessus. Le lapin part du point $ A $ dans une direction qui est repérée par l’angle $ \theta $ avec $ 0 \leq \theta<\frac{\pi}{2} $ (en radians). Quel angle doit choisir le lapin pour ne pas se faire écraser ?
2. Une caractérisation d'une courbe via ses tangentes. Démontrez qu'il existe une unique fonction $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ dérivable avec $ f(0)=1 $ et dont la courbe $ \mathcal{C} $ dans un plan muni d'un repère orthonormé possède la propriété suivante : pour tout réel $ a $, la tangente à $ \mathcal{C} $ au point d'abscisse $ a $ coupe l'axe des abscisses en $ (a-1,0) $.
3. Tangentes communes. On considère les deux fonctions $ f $ et $ g $ définies sur $ \mathbb{R} $ par $ f:x\mapsto \mathrm{e}^{x} $ et $ g:x\mapsto 1-\mathrm{e}^{-x} $. Dans un plan muni d'un repère orthonormé, démontrez que les courbes représentatives de ces deux fonctions possèdent exactement deux tangentes communes.
4. Distance d'un point à une courbe. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $ \mathcal{L} $ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Soit $ A $ un point situé sur l'axe des ordonnées. Démontrez que parmi les points $ M $ appartenant à la courbe $ \mathcal{L} $, il en existe un seul qui rend minimale la distance $ AM $. On le note $ M_0 $. Démontrez que la tangente à la courbe $ \mathcal{L} $ au point $ M_0 $ est perpendiculaire à la droite $ \left( AM_0\right) $.
5. Position de la courbe de l'exponentielle par rapport à ses tangentes. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère à la courbe représentative de la fonction exponentielle. Que dire de la position de cette courbe par rapport à ses tangentes ?
Si vous avez abordé le calcul intégral :
6. Longueur d'un arc de parabole. Etant donnée une fonction réelle $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ qui est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et dont la fonction dérivée $ f' $ est continue sur $ \mathbb{R} $, on considère $ \mathcal{C} $, sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé. On note $ A $ le point de $ \mathcal{C} $ dont l'abscisse est égale à $ 0 $ et $ B $ le point de $ \mathcal{C} $ dont l'abscisse est égale à $ 1 $. On appelle longueur d'arc de $ \mathcal{C} $ de $ A $ à $ B $ le réel $ \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2} \, \mathrm{d} x $. Montrez qu'en posant $ g(x)=x\sqrt{1+x^2}+\ln (x+\sqrt{1+x^2}) $ pour tout réel $ x $, on définit une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $, calculez sa fonction dérivée, puis déduisez-en la longueur d'arc de $ A $ à $ B $ de la fonction carré.
! Je sais maintenant quoi vous offrir à Noël. Humour.
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