Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Ajournement :

SPOILER:

Ok. Il y aurait pas de choses à redire sur la rédaction, les notations, mais la plupart des arguments importants sont là et vous apprendrez sans doute plus tard à rédiger de manière standard. La réponse que vous avez trouvée est-elle surprenante ou pouvait-on s'y attendre ?

[Magnéthorax]

SPOILER:

Je ne voulais pas dire que vous êtes mauvais, pas du tout. D'ailleurs ce que vous avez proposé démontre le contraire.

[Magnéthorax]

Bonjour,

un tronc d'arbre idéal descend un canal d'un mètre de large, lui aussi idéal. Un virage à angle droit se présente. Quelle longueur ne doit pas dépasser le morceau de bois pour passer le virage ?

[Magnéthorax]

Bonjour,

soit $ (u_n) $ la suite définie par $ u_0=2 $ et, pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n+1}=u_n+2n-2 $. On s'intéresse à la possibilité de déterminer une fonction $ f $ telle que, pour tout entier naturel $ n $, on ait $ u_n = f(n) $.

1. Représentez graphiquement les premiers termes de la suite. Quelle conjecture concernant $ f $ pouvez-vous formulez ?
2. Démontrez cette conjecture.
3. En remarquant que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ u_{n+1}-u_n = 2n-2 $, démontrez le résultat précédent d'une autre manière.

Soit $ (v_n)_{n\geq 1} $ la suite définie par $ v_1=1 $ et , pour tout entier naturel $ n\geq 1 $, $ v_{n+1}=\frac{v_n}{1+v_n} $. Déterminez une fonction $ g $ telle que, pour tout entier naturel $ n\geq 1 $, on ait $ v_n = g(n) $.

[kwalkwalkwal]

ATTENTION SOLUTION, NE PAS LIRE SI VOUS N'AVEZ PAS ENCORE ESSAYE.

Magnéthorax, pour ton problème sur la suite (Vn), il me semble qu'on peut montrer assez facilement par récurrence sur n>=1 que Vn=V1/[1+(n-1)V1], et donc que le terme général de la suite (Vn) est Vn=1/n, de la on peut en conclure que la suite f(x)=1/x convient. Désolé pour le manque de rigueur, je voulais faire vite ^^

[Magnéthorax]

kwalk : ok, l'idée était d'avoir une approche un peu expérimentale : calculer quelque termes, conjecturer, démontrer. Une approche moins naturelle, plus astucieuse :

SPOILER:

introduire la suite $ (\frac{1}{v_n}) $.

[Ornithorynque]

Bonjour,

Je pourrais avoir une indication concernant le problème du tronc d'arbre, svp ? Merci

[Magnéthorax]

Bonjour,

essayez une dessin qui représente la situation critique, c'est-à-dire celle qui fait la transition entre "ça passe" et "ça passe pas".

[Ornithorynque]

SPOILER:

J'ai pensé au dessin, et considéré une valeur : 2*(racine de 2)

[Magnéthorax]

Bonjour,

je suis une fonction définie et continue sur $ ]0,+\infty[ $, à valeurs dans $ ]0,+\infty[ $. Dans un plan muni d'un repère orthonormé, ma courbe représentative présente la particularité suivante : pour tous les réels strictement positifs $ a,b,q $, l'aire de la partie du plan délimitée par

1. les droites d'équation $ x=a $ et $ x=b $,
2. l'axe des abscisses,
3. ma courbe,

est égale à l'aire de la partie du plan délimitée par,

1. les droites d'équation $ x=qa $ et $ x=qb $,
2. l'axe des abscisses,
3. ma courbe.

Qui suis-je ?