Exercices de MPSI

[ladmzjkf]

[Exercice 523.2] Soit $ (u_n) $ une suite de réels positifs telle que pour tout $ n \in \mathbb N $, $ u_{n+2} \leq \frac{1}{2}(u_{n+1} + u_n)} $. Montrer que la suite converge.

Merci. J'espère que ça soit juste: Une tentative

La tentative a l'air correcte de loin, mais je n'ai pas eu le courage de la décrypter en détails car elle est très mal rédigée (selon les standards mathématiques). Le minimum est de n'écrire que des phrases syntaxiquement correctes, en français, de ne pas utiliser les symboles mathématiques comme abréviations, et de mettre en avant l'argumentation logique.

Je vais voir ce que je peux faire cet aprem'.

[lsjduejd]

J'avais trouvé une démo mais j'ai la flemme de recopier. Voici une super-mini-rédaction:(sauf erreur)

SPOILER:

par exemple $ (1,2,2,0) $ est une solution pour $ a_1+a_2+a_3+a_4=5 $, cette solution peut-être représentée par un schéma: •|••|••|, la solution $ (0,2,3,0) $ par |••|•••|
Ainsi, on voit que le nombre de p-uplet solutions de l'équations est $ \binom{N+p-1}{p-1} $

Y'a rien de rédigé là-dedans. Par contre t'aboutissais en reprenant la preuve précédente avec une petite astuce.

[rabhix98]

J'ai compris, mais corrige ton énoncé, les k couples sont dans $ (x_{1}; y_{1})...(x_{n}; y_{n}) $

Il me semble que l'énoncé est correct. Qu'est-ce qui ne te plait pas ? La correction que tu proposes n'a aucun sens pour moi.

Juste l'indice final de couples. Il s'agit d'un n et pas d'un k... C'est débile mais ça m'a induit en erreur

[kakille]

mathophile : tu parles bien sûr de celui-là

Ce rapide survol m'inspire l'exo suivant : former en français, sans aucune notation mathématique et en utilisant le moins de mots possible, une phrase qui définisse ce qu'est la convergence d'une suite réelle.

[wallissen]

[Exo 524.1 ]

Soit $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R} $ telle que $ f(x)e^{f(x)} = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R}_+ $
Montrer que :

(a) f est croissante

(b) $ lim_{x \to +\infty }f(x) = \infty $

(c) $ \frac{f(x)}{\ln x} $ tend vers 1 quand x tend vers $ +\infty $

[Exo 524.2 ]

Soit $ f $ une fonction à valeurs réelles définie sur $ ]0, 1[ $ telle que $ \lim_{x \to 0 }f(x) = 0 $ et $ \lim_{x \to 0 }\frac{f(x) - f(\frac{x}{2})}{x} = 0 $

Calculer $ \lim_{x \to 0 }\frac{f(x)}{x} $

J'ai pas encore réussi à faire le deuxième..ça m'a l'air coriace

Au passage , je trouve l'idée de Siméon de numéroter et d'indexer les exos, excellente

[ladmzjkf]

J'avais trouvé une démo mais j'ai la flemme de recopier. Voici une super-mini-rédaction:(sauf erreur)

SPOILER:

par exemple $ (1,2,2,0) $ est une solution pour $ a_1+a_2+a_3+a_4=5 $, cette solution peut-être représentée par un schéma: •|••|••|, la solution $ (0,2,3,0) $ par |••|•••|
Ainsi, on voit que le nombre de p-uplet solutions de l'équations est $ \binom{N+p-1}{p-1} $

Y'a rien de rédigé là-dedans. Par contre t'aboutissais en reprenant la preuve précédente avec une petite astuce.

Pas faux, je reprends:

SPOILER:

EDIT: pas trop joli

[mathophilie]

J'avais trouvé une démo mais j'ai la flemme de recopier. Voici une super-mini-rédaction:(sauf erreur)

SPOILER:

par exemple $ (1,2,2,0) $ est une solution pour $ a_1+a_2+a_3+a_4=5 $, cette solution peut-être représentée par un schéma: •|••|••|, la solution $ (0,2,3,0) $ par |••|•••|
Ainsi, on voit que le nombre de p-uplet solutions de l'équations est $ \binom{N+p-1}{p-1} $

J'ai fait la même ! En considérant des 1 et des + :

SPOILER:

On considère une suite de $ N $ 1 écrits côte à côté, et $ (p-1) $ +.
L'exercice revient à déterminer le nombre de manière de disposer les plus de sortes à constituer p paquets de 1 (que l'on additionne ensuite pour former des nombres).
On a $ n+p-1 $ éléments au total et $ p-1 $ + à placer, d'où le résultat $ \binom{N+p-1}{p-1} $

Mais comme dit lsjduejd, doit y'avoir plus rigoureux. Fin je m'étais arrêtée là perso.

J'ai compris, mais corrige ton énoncé, les k couples sont dans $ (x_{1}; y_{1})...(x_{n}; y_{n}) $

Il me semble que l'énoncé est correct. Qu'est-ce qui ne te plait pas ? La correction que tu proposes n'a aucun sens pour moi.

Juste l'indice final de couples. Il s'agit d'un n et pas d'un k... C'est débile mais ça m'a induit en erreur

Rahbix98, l'exercice de Siméon est juste ! C'est bien un k, et c'est là tout l'intérêt de l'exo.

mathophile : tu parles bien sûr de celui-là

Ce rapide survol m'inspire l'exo suivant : former en français, sans aucune notation mathématique et en utilisant le moins de mots possible, une phrase qui définisse ce qu'est la convergence d'une suite réelle.

Ben oui, évidemment !

@ladmzjkf : C'est dingue comme tes démonstrations en analyse sont élégantes

[kakille]

Contraste saisissant

@ladmzjkf : C'est dingue comme tes démonstrations en analyse sont élégantes

@ladmzjkf : La tentative a l'air correcte de loin, mais je n'ai pas eu le courage de la décrypter en détails car elle est très mal rédigée (selon les standards mathématiques). Le minimum est de n'écrire que des phrases syntaxiquement correctes, en français, de ne pas utiliser les symboles mathématiques comme abréviations, et de mettre en avant l'argumentation logique.

[lsjduejd]

Un petit exercice pour se chauffer :

Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de réels.
On suppose que $ (\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{2^{n-k}})_{n\in\mathbb{N}} $ converge.

Montrer que $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge aussi.

Une sorte de variante :

Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de réels croissante.
Soit $ \Delta $ une fonction à valeurs réelles continue sur $ \mathbb{R} $ vérifiant $ \Delta(x+y)\leq \Delta(x)+\Delta(y) $ pour tout $ (x,y)\in\mathbb{R}^2 $.

On suppose que $ (\sum_{k=0}^n \Delta^{n-k}(a_k))_{n\in\mathbb{N}} $ converge.

Précision :

SPOILER:

$ \Delta^{p}(x) $ signifie $ \Delta $ appliquée $ p $ fois en $ x $ donc $ \Delta(\Delta(\Delta(...\Delta(x)...)) $, on a de plus bien sûr $ \Delta^0(x)=x $.

Montrer que $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge aussi.

Un autre exercice :

Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de réels décroissante.
On suppose que $ (\sum_{k=0}^n a_k)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.

Montrer que $ n*a_n\rightarrow 0 $.

[symétrie]

mathophilie : la rigueur c'est important mais bon, c'est pas non plus l'essentiel. (Enfin tant qu'on est ici, à faire des maths tranquillement sur un forum. Sur une copie de bac, c'est une autre histoire, et en sup c'est encore pire.) Par contre, la rédaction c'est important.