Je suis repartie sur mon idée de petits carrés d'aires, mais ai essayé de la clarifier... Voici : (j'ai copié une partie de mon précédent message)
On reconnaît une équation de cercle, les couples solutions de (E) $ (x;y) \in \mathbb{N}^2 / x^2+y^2 \leq n $ sont les points de coordonnées entières comprises dans le quart de cercle Nord-Est, de centre O l'origine du repère et de rayon$ \sqrt{n}. $.
A partir de cette remarque, on cherche à "partager" l'aire du quart de cercle d'étude en un maximum de carrés d'unités d'aire en procédant ainsi : chaque point "solution" de (E) représente le côté en bas à gauche d'un petit carré d'unité d'aire. Biensûr, suivant la valeur de n, cette méthode va "surestimer" la surface, les carrés aux extrémités du cercle "sortant" de la surface d'étude. Ce "surplus" d'aire décrite par les carrés est maximal quand des points "solutions" se trouvent sur le bord du cercle, c'est à dire quand n est un carré parfait. On a donc tracé des petits carrés en surplus partant avec leur côté gauche du bord du cercle. La distance maximale en surplus entre une extrémité de ces carrés au bord et le contour du quart de cercle est la diagonale d'un carré. Puisque le carré est de côté 1, cette diagonale vaut $ \sqrt{2} $ (Pythagore). En ce sens, on peut dans tous les cas majorer l'approximation par les petits carrés d'aire, et donc $ c_n $, puisque un carré équivaut à 1 point solution, par l'aire d'un nouveau quart de cercle de rayon $ \sqrt{n} + \sqrt{2} $, d'où la majoration : $ c_n \le \frac{\pi}{4}(\sqrt{n} + \sqrt{2})^2 $.
Pour la minoration, il nous faut remarquer qu'en raccourcissant le cercle d'une longueur 1 en chaque de ces points (c'est à dire en traçant un nouveau cercle de rayon $ \sqrt{n} - 1 $), on retire nécessairement des points de coordonnées entières de la surface d'étude, d'où : $ c_n \ge \frac{pi}{4}(\sqrt{n} - 1)^2 $ (la minoration de Siméon en développant...).
Ainsi : $ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}*\frac{\sqrt{n}}{n} + \frac{\pi}{4n} \le \frac{c_n}{n} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}*\sqrt{2}*\frac{\sqrt{n}}{n} + \frac{\pi}{2n} $
D'où par passage à la limite et avec le théorème des gendarmes : $ \lim_{n \to +\infty}\frac{c_n}{n} = \frac{\pi}{4} $
Ca part en live dans le Parc 
)
En plus celui-là mêlait arithmétique et géométrie, c'est la première fois que je vois un pareil accord en maths 
