Exos sympas MP(*)

[LeCaRiBoU]

Soit $ \sigma \in \mathfrak{S}_n $. Peut-on écrire $ \sigma $ à la fois comme un produit de $ 2k $ transpositions et $ 2m+1 $ transpositions, avec $ k,m\in \mathbb N $ ?

SPOILER:

Cela ne fournit-il pas une contradiction directe avec la signature ?

C'est ça :)

[symétrie]

Voici un exercice assez surprenant sur lequel je suis tombé par hasard. J'ai pas mal galéré dessus et je suis pas sûr que ma solution soit correcte mais bon.

Soit $ A $ l'ensemble des $ (x, y) \in \mathbb{R}^2 $ tels que $ 1 < x^2 + y^2 < 3 $. Soit $ f_0 : (x, y) \in A \mapsto x^2 + y^2 $ et $ f_1 : (x, y) \in A \mapsto -(x^2 + y^2) $. Montrer qu'il existe une fonction $ F : A \times [0, 1] \to \R $ continue telle que :

• pour tout $ a \in A $, $ f_0(a) = F(a, 0) $ et $ f_1(a) = F(a, 1) $
• pour tout $ t \in [0, 1] $, l'application $ a \in A \mapsto F(a, t) $ est continûment différentiable et son gradient ne s'annule pas

Graphiquement, cela signifie que l'on peut déformer continûment un cône (tronqué) « vers le haut » en un cône (tronqué) « vers le bas » à travers les graphes de fonctions dont le gradient ne s'annule pas.

Alors pour le coup j'imagine que l'idée c'est pas forcément de donner une solution explicite avec que des formules…

J'espère qu'il plaira à Jio15 qui a l'air de s'ennuyer un peu en ce moment !

[Siméon]

Exercice 427.4
Soient $ E $ un e.v.n. et $ K \subset E $ une partie compacte et non vide munie d'une loi de composition interne associative $ (x,y) \mapsto x \star y $ qui est continue en tant que fonction de $ K^2 $ vers $ K $.
Montrer qu'il existe $ a \in K $ tel que $ a \star a = a $.

[apzoeiruty3]

Pourquoi est-ce que ceci est faux ?

SPOILER:

On pose U0 = x dans K, et Un+1 = Un², cette suite est à valeurs dans un compact, elle admet une sous suite convergente dans K, en notant l sa limite on a l² = l

[Siméon]

@apzoeiruty3 : essaye de détailler l'utilisation de la sous-suite, tu verras l'erreur de toi même.

[apzoeiruty3]

Une sous suite serait Uphi(k) avec phi(k) >= k, donc si Vn = Uphi(n), on a Vn+1 = Vn ^ (2^m) avec m entier, donc la limite de cette suite vérifie l = l ^ (2^m) et en multipliant l (suffisamment de fois) des deux cotés obtient a² = a
J'imagine que l'erreur est "la limite de cette suite vérifie l = l ^ (2^m)" mais je vois vraiment pas, je conçois que ce "m" n'est pas le même à chaque itération de la sous suite mais auquel cas la limite ne vérifie aucune relation ? (j'aurais pas du poster pour de la topo )

[Siméon]

J'imagine que l'erreur est "la limite de cette suite vérifie l = l ^ (2^m)" mais je vois vraiment pas, je conçois que ce "m" n'est pas le même à chaque itération de la sous suite mais auquel cas la limite ne vérifie aucune relation ? (j'aurais pas du poster pour de la topo )

Voilà, tu as trouvé le problème ! Si la topologie t'embête, tu peux commencer par détailler ta solution pour résoudre le cas particulier suivant :
Soit $ K $ un ensemble fini non vide muni d'une loi de composition interne associative $ (x,y) \mapsto x \star y $. Montrer qu'il existe $ a \in K $ tel que $ a \star a = a $.

[fakbill]

Un petit. Réponse courte appréciée:
Existe-t-il f continue de R dans R telle que f(f(x)) = -x pour tout x.

edit: j'avais oublié le mon "continue"...ça change tout...

[Zetary]

Un petit. Réponse courte appréciée:
Existe-t-il f de R dans R telle que f(f(x)) = -x pour tout x.

SPOILER:

On définit d'abord la fonction A telle que si x>0 A(x) est le plus petit entier supérieur ou égal à x et A est une fonction impaire

On définit ensuite $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ par :

$ f(0)=0 $
$ f(x)=-x-1 $ si x>0 et A(x) est impair
$ f(x)=x-1 $ si x>0 et A(x) est pair
$ f(x)=-x+1 $ si x<0 et A(x) est impair
$ f(x)=x+1 $ si x<0 et A(x) est pair

f répond bien au problème

Ci-joint le graphe de la fonction réalisé avec Géogebra avec les entrées suivantes :

signe(x) = abs(1/2+floor(x))/(1+2floor(x))-abs(1/2+floor(-x))/(1+2floor(-x))
A(x) = -signe(x)*floor(-signe(x)*x)
f(x) = (-1)^A(x)*x-signe(x)

Graphe d'une fonction répondant au problème posé

3-volution.jpg (72.87 Kio) Consulté 2372 fois

[fakbill]

je suis idiot....j'ai oublié LE mot "continue".