Exercices de MPSI

[U46406]

Hé, on peut pas t'envoyer de Message Privé :

- bien préparer son entrée en sup ?
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=16&t=9833

- LLG
http://www.louislegrand.org/index.php/a ... -mpsi-pcsi

[preparationnaire 98]

en fait 0≤p≤n bon laisse moi te faire comprendre en fait pour ch (x)^n j ai utilisé le binôme de newton puisque et j ai trouvé en fin de compte que ch(x)^n= 1/2^n-1(ch(nx)+ch((n-2)x)+C 2 n ch ((n-4)x)+...+ C P n ch ((n-2p)x)avec p≤la partie entière de n/2 tt en utilisant Cp n = C n−p n

[U46406]

quel est l'intérêt de cogiter en plein mois d'août sur les fonctions hyperboliques ?

pourquoi vouloir réviser * les premiers chapitres de l'année à venir ??? (certains disent que c'est inutile, et à double effet kis coule : tu vas te dire que tu as de l'avance sur le prof, puis risquer d'être largué au bout de ces quelques premiers chapitres...)

* réviser, c'est réviser les anciens cours, pas les futurs...

[darklol]

quel est l'intérêt de cogiter en plein mois d'août sur les fonctions hyperboliques ?

pourquoi vouloir réviser * les premiers chapitres de l'année à venir ??? (certains disent que c'est inutile, et à double effet kis coule : tu vas te dire que tu as de l'avance sur le prof, puis risquer d'être largué au bout de ces quelques premiers chapitres...)

* réviser, c'est réviser les anciens cours, pas les futurs...

Chacun fait ce qu'il veut, si ça peut rassurer tant mieux, je t'invite d'ailleurs à relire attentivement le topic que tu as linké, tu y trouveras notamment la phrase:

Si ! Les chapitres en tant que tels ne sont pas à réviser, mais une chose est à préparer pour la rentrée : le calcul.

ça tombe bien, l'exo de p98 est un bon exo de calcul.
Tu ne voudrais quand même pas que p98 fasse 5/2 comme ton fils, n'est-ce pas?

[darklol]

Exercice un peu calculatoire (en tout cas j'ai pas de solution sans calculs), posé tel quel aux oraux de l'X MP en 2015, peut-être un peu difficile pour un terminale mais je pense qu'il reste accessible:

Exercice 612.3 #belovedSiméon

Soient $ n $ un entier supérieur à 2 et $ a_1, a_2, ..., a_n $ des réels. On suppose que les racines (complexes) de l'équation $ x^n + a_1 x^{n-1} + ... + a_n = 0 $ d'inconnue $ x $ sont en progression arithmétique de raison $ r $. Calculer $ r $ en fonction de $ a_1 $ et $ a_2 $.

Voilà petits résultats peut-être HP en terminale nécessaires, mais sûrement connus par la plupart d'entre vous:

SPOILER:

une telle équation possède $ n $ racines complexes $ z_1, z_2, ..., z_n $ (pas forcément distinctes a priori, mais bon ici ça sera le cas dès qu'on prend $ r $ non nul...), et on a l'identité: $ x^n + a_1 x^{n-1} + ... + a_n = (x - z_1)(x - z_2)...(x-z_n) $

[SH#T]

Posté par darklol: Exercice 612.3

Soient $ n $ un entier supérieur à 2 et $ a_1, a_2, ..., a_n $ des réels. On suppose que les racines (complexes) de l'équation $ x^n + a_1 x^{n-1} + ... + a_n = 0 $ d'inconnue $ x \in \mathbb{R} $ sont en progression arithmétique de raison $ r $. Calculer $ r $ en fonction de $ a_1 $ et $ a_2 $.

Il ne reste pas beaucoup (en supposant ce que j'ai fais est juste), mais je n'ai pas pu finir car je suis un peu fatigué, voilà ce que j'ai pour le moment: http://docdro.id/EnY6pv4

[darklol]

Non tu ne peux pas définir un $ a_{n+1} $ de cette manière car alors les précédents $ a_i $ ne sont plus les mêmes. Laisse les fixés et ne t'occupe pas d'eux ça vaudra mieux. Commence par ce préliminaire, qui ne parle pas du tout de $ r $:

SPOILER:

Avec mes notations, calculer $ a_1 $ et $ a_n $ en fonction des $ z_i $ (facile).
Calculer $ a_2 $ en fonction des $ z_i $ (légèrement plus dur mais même technique).
Le calcul de $ a_n $ ne servira pas pour l'exercice, c'est juste bien de le connaître.

[SH#T]

Non tu ne peux pas définir un $ a_{n+1} $ de cette manière car alors les précédents $ a_i $ ne sont plus les mêmes. Laisse les fixés et ne t'occupe pas d'eux ça vaudra mieux. Commence par ce préliminaire, qui ne parle pas du tout de $ r $:

SPOILER:

Avec mes notations, calculer $ a_1 $ et $ a_n $ en fonction des $ z_i $ (facile).
Calculer $ a_2 $ en fonction des $ z_i $ (légèrement plus dur mais même technique).
Le calcul de $ a_n $ ne servira pas pour l'exercice, c'est juste bien de le connaître.

Je ne comprends pas bien pourquoi on ne peut exprimer $ a_{n+1} $ en fonction des $ a_i $ (je parle des $ a_i $ de la fonction $ g_n $) ... mais cela implique que montrer par récurrence l'expression de $ a_1 $ (par exemple) est une fausse approche ?

SPOILER:

f_n(0)=\prod (z_i)=a_n

[darklol]

Non tu ne peux pas définir un $ a_{n+1} $ de cette manière car alors les précédents $ a_i $ ne sont plus les mêmes. Laisse les fixés et ne t'occupe pas d'eux ça vaudra mieux. Commence par ce préliminaire, qui ne parle pas du tout de $ r $:

SPOILER:

Avec mes notations, calculer $ a_1 $ et $ a_n $ en fonction des $ z_i $ (facile).
Calculer $ a_2 $ en fonction des $ z_i $ (légèrement plus dur mais même technique).
Le calcul de $ a_n $ ne servira pas pour l'exercice, c'est juste bien de le connaître.

Je ne comprends pas bien pourquoi on ne peut exprimer $ a_{n+1} $ en fonction des $ a_i $ (je parle des $ a_i $ de la fonction $ g_n $) ... mais cela implique que montrer par récurrence l'expression de $ a_1 $ (par exemple) est une fausse approche ?

SPOILER:

f_n(0)=\prod (z_i)=a_n

Je suis pas sûr de bien comprendre ce que tu veux dire, mais tu avais défini:
$ f_n(x) = \prod_{k=0}^{n-1} (x - u_0 - kr) = x^n + a_1 x^{n-1} + ... + a_n $
mais ensuite tu as par exemple
$ f_{n+1}(x) = \prod_{k=0}^n (x - u_0 - kr) = x^n + a'_1 x^{n-1} + ... a'_n x + a'_{n+1} $ où les $ a'_i $ sont les coefficients quand tu développes le produit, et qui ont peu de rapport a priori avec les $ a_i $ précédents

T'as qu'à essayer: développe $ x(x-1) $ puis $ x(x-1)(x-2) $. Donc je vois pas trop comment tu pourrais avoir une expression par récurrence.

L'expression de $ a_n $ est presque juste, il manque un petit truc (mais comme je l'ai dit elle intervient pas dans l'exo). Maintenant tu trouves l'expression de $ a_1 $ et $ a_2 $ en fonction des racines (indice: cherche pas à évaluer $ f_n $ en des points particuliers comme tu l'as fait pour $ a_n $, ça marchera pas cette fois, tu peux d'ailleurs réfléchir à une autre méthode très simple pour $ a_n $ qui sera utilisable pour $ a_1 $ et $ a_2 $), tu l'appliques au cas de l'énoncé où les racines sont en progression géométrique, et t'as plus qu'à essayer de te débarasser de $ u_0 $ pour avoir une expression de $ r $ uniquement en fonction de $ a_1 $ et $ a_2 $ (et de $ n $).

[SH#T]

Ok merci, je vais essayer encore pour voir ce que ça va donner