Exercices de MPSI

[donnerwetter]

Quelqu'un l'avait résolu non ? Par l'absurde ça marchait bien je crois.
Si t'as des exos d'arithmétique ou de géométrie je suis preneur !

[ladmzjkf]

Non, presque mais pas encore.
Arithmétique, un peu, mais la géométrie

[Zetary]

Sinon on peut s'épargner l'emploi de Darboux en supposant la fonction C1 au lieu de dérivable.

D'ailleurs, trouver une fonction dérivable mais pas C1

[Siméon]

Deux exercices pour le prix d'un :

Soit $ E \subset \mathbb Z $ fini et $ X,Y $ deux variables aléatoires de même loi à valeurs dans $ E $. On suppose que pour tous $ a,b \in E $, les évènements $ \{X = a\} $ et $ \{Y = b\} $ sont indépendants.
[622.2] Que peut-on dire de la loi de $ X $ si $ X = Y $ ?
[622.3] Montrer que $ P(X+Y \text{ est impair}) \leq \frac 12 $.

[ladmzjkf]

Sinon on peut s'épargner l'emploi de Darboux en supposant la fonction C1 au lieu de dérivable.

Je n'y avais pas pensé, c'est mieux .
Pour ceux qui ne le savent pas encore, une fonction C^n est une fonction dérivable n fois, et dont la n-ième dérivée est continue (normalement une recherche wiki suffit, mais pour éviter les "c'est pas précisé dans l'énoncé")

Comme promis:

Soit $ a,b,c\in\mathbb{N} $ tq $ a^3+b^3+c^3\equiv 0 [9] $ . Montrer que 3|a ou b ou c

(ne me rappelle plus comment j'avais fait pour cet exo, donc si c'est trivial sorry)

Il y a aussi un exercice posté par KGD.

[donnerwetter]

Plus de géométrie ? Mais c'est scandaleux !

Pour l'exo de Darboux je pensais à quelque chose comme ça :

SPOILER:

On suppose : $ \exists \epsilon >0, \forall x \in \mathbb{R}, \mid f'(x)\mid > \epsilon $.
Alors f est strictement monotone. En effet s'il existe deux réels dont les images par f' sont de signes opposés, alors f' s'annule entre ces deux réels d'après le théorème de Darboux.
On suppose f strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $. Comme f est minorée elle converge par valeurs supérieures vers un réel $ l $ en $ + \infty $.
Comme $ \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)<- \epsilon $ f est majorée sur R+ par $ f(0)-\epsilon x $ (ça me paraît évident mais il doit y avoir un théorème là-dessous EDIT : ça s'appelle l'intégration en fait ^^) donc $ f(x) \rightarrow -\infty $ ce qui contredit la limite finie.
On raisonne de même pour f strictement croissante et on en déduit ce qu'il fallait démontrer.

Soit $ a,b,c\in\mathbb{N} $ tq $ a^3+b^3+c^3\equiv 0 [9] $ . Montrer que 3|a ou b ou c

Ouais effectivement c'est pas trop compliqué

SPOILER:

Ça vient tout seul avec un tableau de congruences.

[Krik]

$ \forall \epsilon >0, \forall x \in \mathbb{R}, \mid f'(x)\mid > \epsilon $.

Attention à la négation de "pour tout réel $ \varepsilon $ strictement positif, il existe un réel $ x_\varepsilon $ tel que $ |f'(x_\varepsilon)|\leq \varepsilon $." . Mais tu peux sûrement adapter ce que tu as écrit.

[donnerwetter]

En effet, merci. Oui ça ne change pas grand-chose vu qu'on fixe epsilon à un moment... je corrige ça.

[ladmzjkf]

Plus de géométrie ? Mais c'est scandaleux !

Tant mieux

Pour l'exo de Darboux je pensais à quelque chose comme ça :

SPOILER:

On suppose : $ \exists \epsilon >0, \forall x \in \mathbb{R}, \mid f'(x)\mid > \epsilon $.
Alors f est strictement monotone. En effet s'il existe deux réels dont les images par f' sont de signes opposés, alors f' s'annule entre ces deux réels d'après le théorème de Darboux.
On suppose f strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $. Comme f est minorée elle converge par valeurs supérieures vers un réel $ l $ en $ + \infty $.
Comme $ \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)<- \epsilon $ f est majorée sur R+ par $ f(0)-\epsilon x $ (ça me paraît évident mais il doit y avoir un théorème là-dessous EDIT : ça s'appelle l'intégration en fait ^^) donc $ f(x) \rightarrow -\infty $ ce qui contredit la limite finie.
On raisonne de même pour f strictement croissante et on en déduit ce qu'il fallait démontrer.

Oui, c'est ça .

Soit $ a,b,c\in\mathbb{N} $ tq $ a^3+b^3+c^3\equiv 0 [9] $ . Montrer que 3|a ou b ou c
Ouais effectivement c'est pas trop compliqué

SPOILER:

Ça vient tout seul avec un tableau de congruences.

Profites bien du dernier exercice que tu feras avec un tableau de congruences

[Jio15]

Je n'suis pas d'accord pour la démonstration. Il justifie son inégalité par "l'intégration". À moins de connaitre Kurzweil-Henstock, on ne sait pas intégrer en général la dérivée d'une fonction dérivable non supposée C1. Le bon argument, c'est donc évidemment l'inégalité des accroissements finis.... Sauf que celle-ci n'a pas grand chose à faire sur le fil pré-rentrée MPSI