Exos sympas MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs: JeanN, Michel Quercia

Re: Exos sympas MPSI

Messagepar Siméon » Lun Août 29, 2016 11:47 am

@Zetary : tu peux utiliser des fonctions polynomiales ou des fonctions constantes comme le fait remarquer symétrie, mais il reste à traiter les recollements.

@SH#T : ça marche à peu près, mais rien n'assure dans ta construction que h majore f.
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Re: Exos sympas MPSI

Messagepar SH#T » Lun Août 29, 2016 2:51 pm

C'est vrai. On peut "obliger" h à ne plus redescendre une fois qu'elle a franchi une valeur: h(n)=sup f([[0,n+1]]), puis on relie les h(n) & h(n+1) avec pour avoir une fonction affine par morceaux, et on continue avec le même raisonnement. Je pense que c'est juste cette fois, je me trompe ??
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Re: Exos sympas MPSI

Messagepar fakbill » Lun Août 29, 2016 4:02 pm

Siméon . tu veux qqch d'explicite pour les recollements? Pour un brave physicien, il est clair qu'on peut toujours bricoler un bout de fonction qui arrive avec la bonne pente de chaque coté :)
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Re: Exos sympas MPSI

Messagepar Siméon » Lun Août 29, 2016 7:50 pm

Au minimum, il faudrait vérifier qu'il y a « assez de place » pour faire le recollement. A priori, la condition f \leq g \leq f + 1 est contraignante.
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Re: Exos sympas MPSI

Messagepar PiCarréSurSix » Mer Jan 11, 2017 9:20 pm

Bon, qui est chaud pour inaugurer une cuvée d'exos MPSI 2016-2017 ? :mrgreen:
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Re: Exos sympas MPSI

Messagepar JeanN » Mer Jan 11, 2017 10:47 pm

Soit f une fonction continue de R dans R et minorée
Montrer qu'il existe a dans R tel que pour tout t réel, f(t)>= f(a) - |t-a|
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Re: Exos sympas MPSI

Messagepar SimonY » Ven Jan 13, 2017 12:09 am

f(t)+|t| tend vers +inf en -inf et en +inf (car |t|+f(t)>=borneinf(f)+|t|)
Donc f(t)+t atteint son minimum=m étant continue.
Soit a tq f(a)+|a|=m
donc f(t)+|t|>=f(a)+|a|
f(a)-f(t)=<|a|-|t|=<|a-t|
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Re: Exos sympas MPSI

Messagepar guiguiGG » Ven Jan 13, 2017 10:19 pm

Soit f de R dans R continue et non constante.
Montrez qu'il existe a<b des réels tels que pour tout c dans ]a,b[, f(c) est différent de f(a) et de f(b).
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Re: Exos sympas MPSI

Messagepar donnerwetter » Ven Jan 13, 2017 11:35 pm

Etudier la suite (cos^(n)(n)), où cos^(n) désigne cos rond cos... rond cos avec n composées.
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