Reste d'une série verifiant le critère des séries alternées

[gundertaker]

Bonjour,
Si l'on a une série verifiant les hypothèses du Critère spécial des series alternées, alors elle converge, donc son reste tend vers 0. De + son reste est du même signe que son premier terme donc il est alterné. Je me demande donc si le reste vérifie étalement la 3eme hypothèse du critère : tend vers 0 en valeur absolue : ainsi toute série verifiant le CSA aurait un reste qui serait le terme général d'une série convergente .
Je n'arrive pas a le démontrer mais Je ne pense pas que ce soit vrai dans le cas général. Seulement, je ne trouve pas de contre exemple.
Pourriez vous m'aider en me donnant un contre exemple ou en m'aidant à prouver que le reste décroit en valeur absolue ?
Existe t-il des hypothèses à rajouter pour que cela soit vrai tout le temps ?

[JeanN]

Prend x_n=ln(1+(-1)^n/sqrt(n)) et y_n=x_{n+1}-x_n

Vérifie que y_n satisfait le CSSA, que x_n est la suite des restes et enfin que la série de TG x_n diverge.
Je crois que ça marche.

[jandri]

Un autre exemple: a_{2n-1} = a_{2n} = 1/n
la série de terme général u_n=(-1)^n a_n satisfait le CSSA mais la série de terme général R_n diverge.

Pour obtenir la convergence de la série de terme général R_n on peut ajouter une hypothèse.
Soit une suite (a_n) décroissante, de limite nulle, telle que la suite (a_n - a_{n+1}) soit décroissante.
Alors la série de terme général u_n = (-1)^n a_n satisfait le CSSA ainsi que la série de terme général R_n.
C'est par exemple vérifié quand a_n = f(n) avec f fonction décroissante, convexe, de limite nulle en +infini.