Série majorée

[hb2]

Bonsoir ,

ça fait un bon bout de temps que je bloque sur une question d'un td sur les série numériques ( sup )
Soit Delta (que je noterai D ) une bijection de IN* dans IN* , Mq Somme(n=1,+inf) (1/(n*D(n))) est convergente .
ça m'as venu à l'esprit que cette série soit majorée par Somme(n=1,+inf) (1/n²) mais je sais pas comment la démontrer.

Merci pour votre aide

[Zetary]

Bonjour,

Commence par étudier les sommes partielles, et le comportement de D restreinte a un ensemble fini.

Une autre question: ai-je plus d'argent quand j'ai plus de billets que de pieces ou l'inverse ?

[Koppnayw]

Ta somme va être majorée par zeta(2) avec l'inégalité du réordonnement : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=34755

[hb2]

@Zetary j'ai essayé de faire une récurrence mais ça marche pas , j'ai même pensé à l'absurde mais je me bloque tout le temps ; une indication serai la bienvenue .

@Koppnayw désolé mais j'ai rien déchiffré du message de V@J , j'ai déjà pensé ( intuitivement ) qu'elle est majorée par zéta(2) car c'est sa valeur maximale pour D = Id . Si vous pouvez réécrire lisiblement son message j'en serai reconnaissant .

Bonne soirée

[Zetary]

Mon indication c'est le truc des billets et de pieces, puis d'essayer de le generaliser avec N quantites et N valeurs (et ça s'appelle en effet inegalité du réordonnement)

[hb2]

ah oui c'est vrai , j'ai compris ce que tu voulais dire par ta question ... et merci pour cette indication . bonne chance pour les concours

[Zetary]

Pas de quoi Merci le plus dur est passé ^^

Dans le meme exo, la deuxieme question c'est l'etude de la serie des D(n)/n^2 si tu veux aller plus loin (voire 1/(n^k D(n)) et D(n)/n^k)

[Vault]

Une autre solution...

SPOILER:

La somme des 1/n² est absolument convergente donc la famille des 1/n² est sommable donc on peut réordonner ses termes dans n'importe quel ordre et on a encore quelque chose de sommable et de même somme. Les suites (1/n) et (1/D(n)) sont alors dans l² donc leur produit est dans l^1 et on a en plus la majoration voulue (Cauchy-Schwarz). Il faudra peut-être changer un peu la rédaction pour rester au niveau prépa?
Si mes souvenirs de spé sont bons, les mêmes idées (un chouïa plus travaillées, mais pas plus) s'appliquent à la suite de l'exo, qui est celle donnée par Zetary.
Enfin, cet exo est dans le Gourdon d'analyse. De mémoire sa correction ne fait pas appel à l'inégalité du réarrangement/réordonnement mais passe quand même par les sommes partielles.

[hb2]

C'est vrai ! j'avais pas pensé à Cauchy-Schwarz .

[oty20]

Si tu ne veux pas utilisé d’inégalité , comme D est une bijection tu peux décomposé
N*=AUB , ou A c'est l'ensemble des entiers {k | D(k)>= k } et B l'ensemble des entiers {k | D(k) <k } ,
alors la somme partielle se decompose on une somme sur
sigma 1\kD(k) tel que k dans A qui est majore par sigma 1\k² k dans A
et une somme sur B de
sim 1\kD(k) majore par sigma 1\D(k)² k dans B or comme D est une permutation les termes cette derniere n'est qu'une somme sur les elements de B donc egale a simgma 1\k² k dans B
somme tout la somme partielle de la série positive est bien majoré par zeta(2) qui converge ce qui permet de conclure .
Dans l'espoire que cela ait pu t'aider .