Matrice idempotente rg=tr

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GaussX
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Matrice idempotente rg=tr

Message par GaussX » lun. mai 15, 2017 9:27 pm

Bonjour, est-ce que c'est possible de démontrer avec les outils de sup l'assertion suivante:
A idempotente => rg(A)=tr(A)
J'ai essayé mais je ne suis parvenu a aucun résultat.
Une aide?
Merci d'avance

Almar
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Re: Matrice idempotente rg=tr

Message par Almar » lun. mai 15, 2017 9:34 pm

Oui c'est tout à fait faisable, il faut considérer A comme un endormorphisme, et reconnaître alors un projecteur. Essaye ensuite de construire une base dans laquelle cette matrice est sympa en te servant des propriétés des projecteurs :)
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Re: Matrice idempotente rg=tr

Message par pierrotdu18 » lun. mai 15, 2017 10:47 pm

Ma réponse est un peu hors-sujet mais si tu as fait un peu de hors programme, en particulier si vous avez fait une partie du chapitre sur la diagonalisation des matrices, il est possible de dire que X²-1 est un polynôme scindé à racines simples qui annule A et donc, A est diagonalisable et ses valeurs propres sont soit 0 soit 1. Le résultat en découle immédiatement
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JeanN
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Re: Matrice idempotente rg=tr

Message par JeanN » lun. mai 15, 2017 11:32 pm

pierrotdu18 a écrit :
lun. mai 15, 2017 10:47 pm
Ma réponse est un peu hors-sujet mais si tu as fait un peu de hors programme, en particulier si vous avez fait une partie du chapitre sur la diagonalisation des matrices, il est possible de dire que X²-1 est un polynôme scindé à racines simples qui annule A et donc, A est diagonalisable et ses valeurs propres sont soit 0 soit 1. Le résultat en découle immédiatement
Avant d'utiliser du hors programme, je suggère à l'auteur de la question de comprendre la démonstration au programme (en mpsi en tout cas)
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brank
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Re: Matrice idempotente rg=tr

Message par brank » mer. mai 17, 2017 10:33 pm

Ce qui est génial c'est que la trace ne change pas quand on change de base et en remarquant que le noyau et l'image de A sont en somme directe on construit une bonne base qui donne le résultat.
C'est une fiotte.

Peria
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Re: Matrice idempotente rg=tr

Message par Peria » jeu. mai 18, 2017 1:32 pm

Almar a écrit :
lun. mai 15, 2017 9:34 pm
Oui c'est tout à fait faisable, il faut considérer A comme un endormorphisme, et reconnaître alors un projecteur. Essaye ensuite de construire une base dans laquelle cette matrice est sympa en te servant des propriétés des projecteurs :)
Idempotent n'implique pas projo mais oui l'idée est la même
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JeanN
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Re: Matrice idempotente rg=tr

Message par JeanN » jeu. mai 18, 2017 2:31 pm

Peria a écrit :
jeu. mai 18, 2017 1:32 pm
Almar a écrit :
lun. mai 15, 2017 9:34 pm
Oui c'est tout à fait faisable, il faut considérer A comme un endormorphisme, et reconnaître alors un projecteur. Essaye ensuite de construire une base dans laquelle cette matrice est sympa en te servant des propriétés des projecteurs :)
Idempotent n'implique pas projo mais oui l'idée est la même
Et c'est quoi la différence entre les deux ?
https://en.wikipedia.org/wiki/Idempotent_matrix
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Peria
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Re: Matrice idempotente rg=tr

Message par Peria » jeu. mai 18, 2017 3:54 pm

Il n'y a pas la linéarité en plus pour un projo ? :oops:

Edit : j'avais zappé "matrice" désolé :cry: (ca m'apprendra à lire le titre en diagonale)
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