Exercice Suites MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Ramufasa
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Exercice Suites MPSI

Message par Ramufasa » ven. août 11, 2017 6:34 pm

Bonjour à tous, je viens vers vous car j'ai un petit problème pour résoudre un exercice qui m'a été posé il y a qques temps (je ne sais plus par qui ni ou ni comment d'ailleurs).
Le voici : (désolé je ne maîtrise pas le latex, u(2n) désigne u indice 2n)

Soit u une suite réelle bornée tq : un + (u(2n)/2) tend vers 1
Mq u tend vers 2/3.

Ce que j'ai fait :

La suite u étant bornée, d'après le théorème de BW on peut en extraire une suite (u(phi(n))) qui converge vers un certain l.
Alors u(phi(n)) + u(2*phi(n))/2 tend vers 1
Donc u(2phi(n)) tend vers 2(1-l). Notons cette valeur l'

Mais alors u2phi(n) + u4phi(n)/2 tend vers 1
Mais alors u(4phi(n)) tends vers 2(1-l'). Notons cette l''
En réitérant le processus, on construit la suite (l(n)) tq pour tout n, l(n+1)=2(1-l)
On en déduit que pour tout n, l(n) =(l(0)-2/3)*(-2)^n + 2/3 (suite arithmético-géométrique)

Si l(0) est différent de 2/3, la suite l(n) diverge ce qui est impossible car la suite u est bornée, donc l(0)= 2/3 et la suite (l(n)) est constante égale a 2/3.

La j'ai voulu conclure : Toutes les suites extraites de u tendent vers 2/3 donc u aussi, or je n'en ai "qu'une" infinité, et pas "toutes".

Quelqu'un pourrait-il me débloquer ou m'expliquer une éventuelle erreur ?

Newton_
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Newton_ » ven. août 11, 2017 7:19 pm

En fait il faut plutot dire que si l'une des valeurs d'adhérence est différente de 2/3 alors l'ensemble des valeurs d'adhérence n'est pas borné ce qui est absurde puisque la suite est bornée. Tu en déduis que la suite est bornée avec une unique valeur d'adhérence : elle converge donc nécessairement vers 2/3
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Antoine-
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Antoine- » ven. août 11, 2017 7:47 pm

Sinon ce n'est pas la peine de construire ta suite l(n). En reprenant ta limite l', on a l' + l'/2 = 1 par unicité de la limite donc l' = 2/3 (c'est donc la seule valeur d'adhérence de la suite). On conclut ensuite comme Newton l'a dit : bornée et une seule valeur d'adhérence (2/3) donc la suite converge vers 2/3.

Édit : j'avais lu trop vite, je ne parlais pas de l' mais de l, i.e la limite de la suite extraite bien entendu.
Modifié en dernier par Antoine- le ven. août 11, 2017 10:44 pm, modifié 1 fois.
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Ramufasa
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Ramufasa » ven. août 11, 2017 9:54 pm

Salut,

Merci bcp de vos réponses !
Juste qques petites questions , comment puis-je prouver que si une valeur d'adherence est differente de 2/3 alors l'ensemble des valeurs d'adherence n'est pas borné ?

Et je n'ai pas réussi à monter le résultat "bornée et une seule valeur d'adherence donc converge", qui n'est pas dans mon cours, ... des pistes ??

Newton_
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Newton_ » ven. août 11, 2017 10:37 pm

Si une valeur d'adhérence est différente de 2/3 la suite arithmetico-geometrique que tu mets en évidence est non bornée !

Pour le lemme qui intervient, suppose que la suite ne converge pas vers la seule valeur d'adhérence : alors prend la suite composée des termes à plus de ε de cette valeur d'adhérence : elle est bornée est admet une valeur d'adhérence différente de la première, c'est absurde !
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Ramufasa
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Ramufasa » ven. août 11, 2017 10:41 pm

Salut Newton,

En fait le pb, c'est que tu me dis "l'ensemble des valeurs d'adhérence est non borné" mais la suite l(n) que j'ai mise en evidence, c'est une suite de valeurs d'adhérence certes, mais j'ai rien qui m'assure que j'ai là toutes les valeurs d'adhérences nn ? Autrement dit, une valeur d'adherence de ma suite u(n) n'est pas nécessairement un terme de l(n)

Et merci, j'ai réussi la petite démo ! :)

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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Jarjar666 » sam. août 12, 2017 12:00 am

Ramufasa a écrit :
ven. août 11, 2017 10:41 pm
Salut Newton,

En fait le pb, c'est que tu me dis "l'ensemble des valeurs d'adhérence est non borné" mais la suite l(n) que j'ai mise en evidence, c'est une suite de valeurs d'adhérence certes, mais j'ai rien qui m'assure que j'ai là toutes les valeurs d'adhérences nn ? Autrement dit, une valeur d'adherence de ma suite u(n) n'est pas nécessairement un terme de l(n)

Et merci, j'ai réussi la petite démo ! :)

Si tu connais des valeurs d'adhérence qui divergent, on a pas besoin de connaître toute les valeurs d'adhérence pour affirmer que l'ensemble des valeur d'adhérence est non borné.
(Je t'ai peut être mal compris).

Ramufasa
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Ramufasa » sam. août 12, 2017 10:24 am

Salut Jarjar et merci de ta réponse :)

En fait, la ce que j'ai montré, c'est qu'il existe une suite de valeurs d'adhérence qui tend vers 2/3(qui est même constante égale à 2/3) donc une infinité de sous suites de u tend vers 2/3.

Mais je comprends pas très bien ton argument: je sais que si une valeur de l (n) est différente de 2/3 alors la suite diverge ce qui est absurde.
Mais c'est pas pour autant que toutes les valeurs d'adhérence sont égales a 2/3 nn? Même si j'ai une valeur adhèrence différente de 2/3 Ça n'implique pas que l'ensemble des valeurs d'adhérence est non borné ou en tout cas, je l'ai pas prouvé.

Luckyos
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Luckyos » sam. août 12, 2017 2:33 pm

T'as exhibé une suite non bornée de valeurs d'adhérence (dans le cas où il en existe une différente de 2/3), comment l'ensemble des valeurs d'adhérence pourrait alors être borné ?
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Ramufasa » sam. août 12, 2017 8:51 pm

Salut Luckyos

En fait ce qui me dérange c'est que tu me dis "t'as exhibé une suite non bornée de valeurs d'adhérence (dans le cas où il en existe une différente de 2/3)" mais ce que je pense avoir prouvé c'est plutôt "si un terme de la suite l (n) est différent de 2/3 alors la suite est non bornée" mais je peux pas affirmer que si une valeur d'adhérence est différente de 2/3 alors l'ensemble des valeurs d'adhérence est non bornée puisque toutes ne sont pas nécessairement un terme de l (n).

Peut être que j'ai mal compris qqch dans vos arguments ...

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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Zetary » sam. août 12, 2017 9:45 pm

Si il existe une VA différente de 2/3 tu peux la prendre comme premier terme de ta suite et faire donc diverger celle-ci. Sinon c'est que la seule VA est 2/3 donc la suite (bornée) tend vers 2/3
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Ramufasa » sam. août 12, 2017 10:28 pm

Salut Zetary
Juste pour être sûr que j'ai bien compris :
Si on a une valeur d'adhérence différente de 2/3, alors on peut recommencer exactement le même processus que j'ai fait et construire une suite l (n) v2 mais qui serait alors divergente ce qui est exclus.
On conclut alors comme newton a dit une suite bornée qui n'a qu une VA elle converge donc vers celle ci .

C'est bien ça?

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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Zetary » dim. août 13, 2017 1:23 am

Comme tu l'as dit toi même si l(0) est différent de 2/3 la suite de VA est non bornée, or l(0) est une valeur d'adhérence arbitraire (dans ta première construction tu prenais n'importe laquelle) eh bien il te suffit de la prendre différente de 2/3 si possible et tu arrives à une contradiction (suite bornée à VA pas bornées), donc la seule VA possible était bien 2/3 et en effet comme la suite est bornée et n'a qu'une VA elle converge vers cette VA
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Re: Exercice Suites MPSI

Message par Ramufasa » dim. août 13, 2017 11:29 am

Ok, après relecture, je pense que c'est ce que voulaient dire les autres mais j'ai finalement bien compris l'idée.

Merci a tous !

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