Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. déc. 05, 2017 8:41 am

Salut,
BobbyJoe a écrit :
mar. déc. 05, 2017 1:12 am
Que la marge trop exiguë de ton cahier ne saurait contenir ^^
Non, la marge devrait suffire pour contenir les idées directrices de la preuve, mais comme je te l'ai dit, elle reste encore à trouver.
J'aurais aimé savoir si une telle preuve te ferais revoir tes positions, si non qu'est-ce qui pourrais te faire revoir tes positions ?

Cordialement.
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siro
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Re: Les dattes à Dattier

Message par siro » mar. déc. 05, 2017 11:11 am

Le monde est rempli de preuves élémentaires, élégantes et concises de problèmes millénaires, qui "n'ont plus qu'à être rédigées" (et donc la rédaction a, aux dernières nouvelles, un degré de complexité bien au delà de l'état de l'art en maths).

Va falloir arrêter la mauvaise foi quand même. Des fois, pour résoudre un problème, y'a pas d'astuce, faut analyser rigoureusement "à la physicienne" le comportement des objets qu'on étudie, puis conclure.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. déc. 05, 2017 11:20 am

siro a écrit :
mar. déc. 05, 2017 11:11 am
Va falloir arrêter la mauvaise foi quand même. Des fois, pour résoudre un problème, y'a pas d'astuce, faut analyser rigoureusement "à la physicienne" le comportement des objets qu'on étudie, puis conclure.
Je ne conteste pas que c'est l'approche dominante aujourd'hui, mais rien n'empêche, que tout de même, l'approche dont j'ai parlé soit bonne, mais il faut un exemple pour montrer que cela est possible, quand j'aurais cette exemple je ne manquerais pas de le publier, pour l'instant c'est avis contre avis, donc sans grand intêret.

Si vous avez autres choses qu'un avis à donner je vous écoute, sinon chacun a put exprimer son avis, inutile de le répéter ad nauseam.

Merci.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nicolas G » mar. déc. 05, 2017 7:32 pm

Cela dépend aussi du système d'axiomes et de la théorie dans laquelle on se place. On ne sait pas si on peut démontrer le dernier théorème de Fermat bien plus simplement mais on ne sait pas non plus si on peut le démontrer en utilisant uniquement les objets de l'arithmétique. Peut-être qu'un problème n'est pas simplement résoluble parce que la théorie pour cela n'a pas encore été développée
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » mar. déc. 05, 2017 7:38 pm

Je pense que les "gens" auraient sans doute (vu l'importance du pb) remarqué s'il y avait une preuve rapide.... ^^

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Re: Les dattes à Dattier

Message par siro » mar. déc. 05, 2017 7:41 pm

Nicolas G a écrit :
mar. déc. 05, 2017 7:32 pm
Cela dépend aussi du système d'axiomes et de la théorie dans laquelle on se place. On ne sait pas si on peut démontrer le dernier théorème de Fermat bien plus simplement mais on ne sait pas non plus si on peut le démontrer en utilisant uniquement les objets de l'arithmétique. Peut-être qu'un problème n'est pas simplement résoluble parce que la théorie pour cela n'a pas encore été développée
My point : si astuce il y a pour résoudre un problème complexe, elle se situe à un tel niveau d'abstraction que rien n'assure que l'esprit humain puisse l'appréhender.
C'est un peu comme les preuves à la Grothendieck : il conceptualisait tellement qu'à la fin en enchaînant les tautologies on arrive à des résultats absolument non triviaux. Mais pour ça faut monter violemment en abstraction.

Mais à ce stade-là, j'appelle plus ça "une astuce" mais une théorie entière.
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Message par Dattier » mar. déc. 05, 2017 8:07 pm

siro a écrit :
mar. déc. 05, 2017 7:41 pm
My point : si astuce il y a pour résoudre un problème complexe, elle se situe à un tel niveau d'abstraction que rien n'assure que l'esprit humain puisse l'appréhender.
Aurais-tu un exemple d'une abstraction difficile à appréhender ?

Merci.
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Message par Dattier » mer. déc. 06, 2017 8:29 pm

Modifié en dernier par Dattier le sam. déc. 09, 2017 6:09 pm, modifié 2 fois.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » sam. déc. 09, 2017 10:34 am

Pour \( \)$77$, l'exo est buggé ... Pour \( \)$\vert z \vert <1,$ on a $\sum_{k=0}^{+\infty}z^{k}=\frac{1}{1-z}.$ Je pense que tu prends des séries aléatoires, et tu veux savoir si presque surement elles s'annulent dans leur disque de cv? C'est ça?
Pour l'exo \( \)$71$, tu peux l'enlever, Siméon a donné la réponse.... Inégalité de Jensen + Utilisation du cas d'égalité car la fonction de l'énoncé est strictement convexe.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » sam. déc. 09, 2017 11:08 am

Exo 48,49

SPOILER:

Posons \( \)$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par \( \)$x\mapsto x^{5}+x^{3}+x.$ La fonction \( \)$f$ est \( \)$\mathcal{C}^{\infty},$ impaire et vérifie \( \)$f'(0)=1.$ Ainsi, \( \)$f$ est donc un \( \)$\mathcal{C}^{\infty}$ difféomorphisme au voisinage de \( \)$0.$ Notons \( \)$g$ cette inverse. Ainsi, son inverse $g$ admet un DL à tout ordre dans un voisinage de \( \)$0$ par Taylor-Young. Par imparité de \( \)$f$, on a également pour \( \)$x \ll1,$ \( \)$g(x)=ax+bx^{3}+cx^{5}+dx^{7}+ex^{9}+o(x^{9}).$ On utilise par composition des DL pour \( \) $x\ll1,$ \( \)$$g(f(x))=x \mbox{ d'où } a(x+x^{3}+x^{5})+b(x+x^{3}+x^{5})^{3}+c(x+x^{3}+x^{5})^{5}+d(x+x^{3}+x^{5})^{7}+e(x+x^{3}+x^{5})^{9}+o(x^{9})=x.$$
Par unicité du DL de \( \)$g$ en \( \)$0,$ il vient en tronquant les DL le système triangulaire suivant \( \)$$a=1;\mbox{ } a+b=0;\mbox{ }a+3b+c=0;\mbox{ } 6b+5c+d=0;\mbox{ } 6b+15c+7d+e=0.$$
Ainsi, on a \( \)$$g(x)=x-x^{3}+2x ^{5}-4x^{7}+4x^{9}+o(x^{9}).$$

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » sam. déc. 09, 2017 1:22 pm

Exo 47
SPOILER:

L'idée est produire un développement asymptotique du TG de la double série... L'ordre de sommation est imposé, on somme d'abord en \( \)$j$ puis en \( \)$i.$ Les calculs sont faits "formellement" car toutes les séries en jeu sont (semi-)convergentes. Posons pour \( \)$x\geq 0,$ $S(x)=\sum_{k\leq x} (-1)^{k}.$ On a alors en procédant à une IPP que pour tout \( \)$i\geq 1,$ \( \)$$\sum_{j\geq 1} \frac{(-1)^{j}}{\sqrt{i+j}}=\int_{1}^{+\infty}\frac{dS(x)}{\sqrt{i+x}}=\left[ \frac{S(x)}{\sqrt{i+x}} \right]_{1}^{+\infty}+\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}dx.$$

On regarde alors la série de TG : \( \)$(-1)^{i}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}.$ On a alors en procédant à une IPP comme précédemment que pour tout \( \)$x\geq 1,$ \( \)$$\sum_{i\geq 1}(-1)^{i}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}=\frac{3S(x)}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(y)}{(y+x)^{\frac{5}{2}}}dy=O(x^{-\frac{3}{2}}).$$ Ainsi, par le théorème de CV dominée puis par Fubini, on a $$\sum_{i\geq 1}(-1)^{i}\sum_{j\geq 1}\frac{(-1)^{j}}{\sqrt{i+j}}=\frac{3}{4}\int_{1}^{+\infty}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)S(y)}{(x+y)^{\frac{5}{2}}}dxdy.$$ Cette dernière intégrale est bien absolument convergente par un changement de variables en coordonnées polaires et car S est bornée (on remarque que pour tout \( \)$2k \leq x <2k+1,\mbox{ } S(x)=1$ et $2k+1 \leq x <2k+2, \mbox{ } S(x)=0$).
Modifié en dernier par BobbyJoe le sam. déc. 09, 2017 5:02 pm, modifié 2 fois.

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Message par Dattier » sam. déc. 09, 2017 3:59 pm

Salut,
BobbyJoe a écrit :
sam. déc. 09, 2017 10:34 am
1/Pour \( \)$77$, l'exo est buggé ... Pour \( \)$\vert z \vert <1,$ on a $\sum_{k=0}^{+\infty}z^{k}=\frac{1}{1-z}.$ Je pense que tu prends des séries aléatoires, et tu veux savoir si presque surement elles s'annulent dans leur disque de cv? C'est ça?

2/Pour l'exo \( \)$71$, tu peux l'enlever, Siméon a donné la réponse.... Inégalité de Jensen + Utilisation du cas d'égalité car la fonction de l'énoncé est strictement convexe.
1/Oui, la réponse est non, ce que tu proposes n'est me semble-t-il pas un contre-exemple.

2/Je ne connais pas ce résultat du cas d'égalité dans Jensen, pour cette exo, j'attends une rédaction compléte (cela devrait prendre quelques lignes).

48-49 Bravo.

47 : je ne sais pas comment tu obtiens ta première égalité entre la série alternée et l'intégrale (si c'est classique je ne connais pas).
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » sam. déc. 09, 2017 4:46 pm

1) Si tu préfères... Pour \( \)$\vert z \vert <2,$ \( \)$$ \sum_{k\geq 0} \frac{z^{k}}{2^{k+1}}=\frac{1}{2-z}.$$
2) Je te dirais, il faut connaitre.... Toi qui aime tant les astuces.... Qui n'en sont pas ^^
47 : ça s'appelle une transformée d'Abel... Cela se transforme en une IPP avec le formalisme des intégrales de Lebesgue-Stieljes...

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Message par Dattier » sam. déc. 09, 2017 5:09 pm

BobbyJoe a écrit :
sam. déc. 09, 2017 4:46 pm
Je te dirais, il faut connaitre.... Toi qui aime tant les astuces.... Qui n'en sont pas ^^

47 : ça s'appelle une transformée d'Abel... Cela se transforme en une IPP avec le formalisme des intégrales de Lebesgue-Stieljes...
Ce n'est pas parce que c'est classique pour toi que cela l'est pour moi et réciproquement, sans cela tu peux dire directement que le problème que je pose est classique, ce qui d'aprés toi répondrais au problème, je te rappelle que le niveau est licence, et au dernière de mes nouvelles le cas d'égalité de Jensen n'est pas aux programmes, donc donne une explication ou un lien vers cela, encore une fois l'explication doit faire environs 3 lignes.

47 : une transformé d'Abel au dernière de mes nouvelles ce n'est pas cela : https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_par_parties
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Message par BobbyJoe » sam. déc. 09, 2017 5:32 pm


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