Topologie Evn

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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skillermaniac
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Topologie Evn

Message par skillermaniac » lun. déc. 11, 2017 1:13 am

Soient A,B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E telles que
d(A,B)>0

Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U et V tels que A Inclus dans U et B Inclus dans V .
svp est ce que vous avez une méthode pour déterminer U et V? Pas tout simplement en "posant":
Merci D'avance. :D :D :D

skillermaniac
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Re: Topologie Evn

Message par skillermaniac » lun. déc. 11, 2017 2:13 am

Lorsque j'ai lu l'indication j'ai pu le faire, mais je n'ai pas su comment ils ont posé U= Union(B(a,d/2)) a décrivant A et du meme pour V
d=d(A,B)

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JustSayin'
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Re: Topologie Evn

Message par JustSayin' » lun. déc. 11, 2017 5:11 am

Comment tu définis la distance entre deux parties ? Géométriquement tu vois pourquoi ça marche ou pas ?
Dans R^3 tu as deux solides espacés d'au moins d, donc tu peux prendre une boule de rayon d/2 centrée sur n'importe quel point et tu sais qu'elle restera loin de l'autre solide.

L'idée de faire une union comme ça sert aussi au début de la démonstration du lemme de borel lebesgue qui est un très joli exercice.
Quand une femme change d'homme elle change de coiffure

Leo11
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Re: Topologie Evn

Message par Leo11 » lun. déc. 11, 2017 10:02 am

En effet, l'union des boules c'est élégant mais peut être pas si intuitif en première approche. Je propose donc de prendre en notant \( d=d(A,B) \):
\( U= \left\{ x \in E \space | \ \exists a \in A, \space \| x - a\| < \frac{d}{2}\ \right\} \ \) et \( V= \left\{ x \in E \space | \ \exists b \in B, \space \| x - b\| < \frac{d}{2}\ \right\} \ \)
En fait, les réunions des boules et ces deux ensembles sont exactement les mêmes (exo si pas clair) mais c'est peut-être plus facile de penser à ça. En gros, on se dit qu'on veut "rajouter une petite clôture à A" pour "ouvrir A" et pareil pour B. Ici, on a rajouté à A tous les points proches de A à d/2 près et pareil pour B. Puis, par définition de d, ces clôtures qu'on a rajoutées conviennent bien. Si c'est toujours pas clair, fais un dessin pour E=R^2 en prenant des rectangles juxtaposés pour A et B, ça devrait t'éclairer.

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Siméon
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Re: Topologie Evn

Message par Siméon » lun. déc. 11, 2017 11:15 am

Pour un point de vue plus intuitif, on peut considérer la distance aux deux parties :

D'après l'inégalité triangulaire (et la définition de borne inférieure), on a : $\forall x\in E,\ d(A,B) \leq d(x,A) + d(x,B)$.
Pour tous $(a,b) \in \mathbb R_+^*$ tels que $a+b \leq d(A,B)$, les ensembles $U(a) = \{x \in E \mid d(x,A) < a\}$ et $V(b) = \{x \in E \mid d(x,B) < b\}$ sont donc disjoints. Ce sont de plus des ouverts car $x \mapsto d(x,A)$ et $x \mapsto d(x,B)$ sont continues (et même 1-lipschitziennes).

Une fois l'idée comprise, on peut effectivement aller plus vite dans la démonstration en remarquant que $U(a)$ et $V(b)$ sont des unions de boules.

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