Topologie Evn

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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skillermaniac
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Topologie Evn

Message par skillermaniac » lun. déc. 11, 2017 1:13 am

Soient A,B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E telles que
d(A,B)>0

Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U et V tels que A Inclus dans U et B Inclus dans V .
svp est ce que vous avez une méthode pour déterminer U et V? Pas tout simplement en "posant":
Merci D'avance. :D :D :D

skillermaniac
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Re: Topologie Evn

Message par skillermaniac » lun. déc. 11, 2017 2:13 am

Lorsque j'ai lu l'indication j'ai pu le faire, mais je n'ai pas su comment ils ont posé U= Union(B(a,d/2)) a décrivant A et du meme pour V
d=d(A,B)

Leo11
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Re: Topologie Evn

Message par Leo11 » lun. déc. 11, 2017 10:02 am

En effet, l'union des boules c'est élégant mais peut être pas si intuitif en première approche. Je propose donc de prendre en notant \( d=d(A,B) \):
\( U= \left\{ x \in E \space | \ \exists a \in A, \space \| x - a\| < \frac{d}{2}\ \right\} \ \) et \( V= \left\{ x \in E \space | \ \exists b \in B, \space \| x - b\| < \frac{d}{2}\ \right\} \ \)
En fait, les réunions des boules et ces deux ensembles sont exactement les mêmes (exo si pas clair) mais c'est peut-être plus facile de penser à ça. En gros, on se dit qu'on veut "rajouter une petite clôture à A" pour "ouvrir A" et pareil pour B. Ici, on a rajouté à A tous les points proches de A à d/2 près et pareil pour B. Puis, par définition de d, ces clôtures qu'on a rajoutées conviennent bien. Si c'est toujours pas clair, fais un dessin pour E=R^2 en prenant des rectangles juxtaposés pour A et B, ça devrait t'éclairer.

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Siméon
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Re: Topologie Evn

Message par Siméon » lun. déc. 11, 2017 11:15 am

Pour un point de vue plus intuitif, on peut considérer la distance aux deux parties :

D'après l'inégalité triangulaire (et la définition de borne inférieure), on a : $\forall x\in E,\ d(A,B) \leq d(x,A) + d(x,B)$.
Pour tous $(a,b) \in \mathbb R_+^*$ tels que $a+b \leq d(A,B)$, les ensembles $U(a) = \{x \in E \mid d(x,A) < a\}$ et $V(b) = \{x \in E \mid d(x,B) < b\}$ sont donc disjoints. Ce sont de plus des ouverts car $x \mapsto d(x,A)$ et $x \mapsto d(x,B)$ sont continues (et même 1-lipschitziennes).

Une fois l'idée comprise, on peut effectivement aller plus vite dans la démonstration en remarquant que $U(a)$ et $V(b)$ sont des unions de boules.

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