Bonsoir à tous voila je suis bloqué sur une démonstration a rendre vendredi depuis une semaine j'aurai besoin de votre aide il s'agit de montrer que pour une application f qui va de E dans F et en ayant A une partie de E et B une partie de F:
f(A) "inter" B = f(A "inter" f^-1(B))
je sais qu'il faut faire par double inclusion mais je suis bloqué merci de votre aide
applications exercice qui me bloque
Re: applications exercice qui me bloque
Soit $ $$x$ appartenant à $ $$f(A)\cap B.$
Alors, il existe $ $$y$ appartenant à $ $$A$ tel que $ $$f(y)=x.$ Mais alors $ $$y$ appartient à $ $$f^{-1}(B)$ car $ $$x$ appartient $ $$B.$
Et donc $ $$y$ appartient à $ $$A\cap f^{-1}(B).$
Mais alors,$ $ $x$ appartient à $ $$f(A\cap f^{-1}(B)).$
Réciproquement, soit $ $$x$ appartenant à $ $$f(A\cap f^{-1}(B)).$
Ainsi, il existe $ $$y$ appartenant à $ $$A\cap f^{-1}(B)$ tel que $x=f(y).$
Mais, on a $ $$f(y)$ appartient à $ $$B$ et donc $ $$x$ appartient à $ $$B.$
Mais aussi, comme $y$ appartient à $A$, $x$ appartient à $f(A).$
Ainsi, $ $$x$ appartient bien à $ $$f(A)\cap B.$
Je te souhaite mauvaise lecture car ça n'a va rien t'apprendre de recopier bêtement un exercice... Mais bon...
Alors, il existe $ $$y$ appartenant à $ $$A$ tel que $ $$f(y)=x.$ Mais alors $ $$y$ appartient à $ $$f^{-1}(B)$ car $ $$x$ appartient $ $$B.$
Et donc $ $$y$ appartient à $ $$A\cap f^{-1}(B).$
Mais alors,$ $ $x$ appartient à $ $$f(A\cap f^{-1}(B)).$
Réciproquement, soit $ $$x$ appartenant à $ $$f(A\cap f^{-1}(B)).$
Ainsi, il existe $ $$y$ appartenant à $ $$A\cap f^{-1}(B)$ tel que $x=f(y).$
Mais, on a $ $$f(y)$ appartient à $ $$B$ et donc $ $$x$ appartient à $ $$B.$
Mais aussi, comme $y$ appartient à $A$, $x$ appartient à $f(A).$
Ainsi, $ $$x$ appartient bien à $ $$f(A)\cap B.$
Je te souhaite mauvaise lecture car ça n'a va rien t'apprendre de recopier bêtement un exercice... Mais bon...