Densité de probabilité / loi gamma

[Eddy Gordo]

Bonjour;

Je suis actuellement en train de faire un exercice d'annale. J'ai tout fait sauf les questions 4 et 5 où je bloque. Pouvez-vous m'aider svp ?

Merci !

[Eddy Gordo]

Pour la 4) c'est bon, cela se voit directement, il suffit d'intégrer entre -oo et +oo et on trouve bien 1.

Pour la 5) je sèche toujours...
J''ai essayé d'utiliser la densité de probabilité de X en intégrant entre lambda et + oo mais ça ne marche pas...

[BobbyJoe]

POur 5), essaie la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à la fonction $exp$.

[Eddy Gordo]

Toujours pas réussi la 5, ni avec Taylor ni en voulant transformer une intégrale en une somme finie...
Help svp

[BobbyJoe]

Ecrit proprement le développement de Taylor à l'ordre $ $$n,$ en $ $$0$, avec reste intégral de la fonction exponentielle au point $ $$\lambda>0.$

[Eddy Gordo]

Je l'ai fait mais ça ne m'aide pas à résoudre la question et je suis pourtant sût qu'il y a une méthode plus simple...

[darklol]

Le problème est de calculer l’intégrale de $ \lambda $ à $ +\infty $ de $ u \longmapsto f_n(u) $. Trouve une formule de récurrence pour cette intégrale en faisant une intégration par parties. Ensuite tu devrais pouvoir résoudre la récurrence sans problème et vérifier que tu tombes bien sur $ \mathbb{P}(Y < n) = \sum_{k=0}^{n-1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} $.

[Eddy Gordo]

Désolé si ma question est bête mais en quoi une IPP me fera passer d’une intégrale à une somme ?

[darklol]

« relation de récurrence »

[Eddy Gordo]

Bon j'abandonne cette question, merci pour vos réponses floues...

[darklol]

Non mais mec t’es sérieux, je t’ai quasiment donné la réponse. Appelle $ I_n $ ton intégrale. Tu fais une bête IPP et tu trouves une relation de récurrence entre $ I_n $ et $ I_{n-1} $, tu résous trivialement cette relation de récurrence et tu tombes directement sur ce que demande l’énoncé. T’iras nulle part dans la vie si tu continues comme ça.

[BobbyJoe]

Soit $\lambda>0$ et $n$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}.$ On écrit alors par Taylor avec reste intégral $ $$$e^{\lambda}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda^{k}}{k!}+\int_{0}^{\lambda}\frac{(\lambda-t)^{n-1}e^{t}}{(n-1)! }dt.$$
On tire de cette relation par le changement de variables $ $$u\mapsto \lambda-t,$ $$1=\sum_{k=0}^{n-1}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}+\int_{0}^{\lambda}\frac{u^{n-1}e^{-u}}{\Gamma(n)}du.$$
En utilisant le fait que $ $$f_{n}$ est une densité, on a $ $$$\int_{0}^{\lambda}\frac{u^{n-1}e^{-u}}{\Gamma(n)}du=\int_{0}^{\lambda}f_{n}(u)du=1-\int_{\lambda}^{+\infty}f_{n}(u)du.$$ Il vient bien finalement que $$\mathbb{P}(X>\lambda)=\mathbb{P}(Y<n).$$

[Dattier]

Salut,

Bon j'abandonne cette question, merci pour vos réponses floues...

L'ingratitude personne n'aime cela, y compris les personnes qui ont prient de leurs temps pour essayer de t'aider.

Cordialement.