Densité de probabilité / loi gamma

[Eddy Gordo]

Bonjour;

Je suis actuellement en train de faire un exercice d'annale. J'ai tout fait sauf les questions 4 et 5 où je bloque. Pouvez-vous m'aider svp ?

Merci !

[Eddy Gordo]

Pour la 4) c'est bon, cela se voit directement, il suffit d'intégrer entre -oo et +oo et on trouve bien 1.

Pour la 5) je sèche toujours...
J''ai essayé d'utiliser la densité de probabilité de X en intégrant entre lambda et + oo mais ça ne marche pas...

[BobbyJoe]

POur 5), essaie la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à la fonction $exp$.

[Eddy Gordo]

Toujours pas réussi la 5, ni avec Taylor ni en voulant transformer une intégrale en une somme finie...
Help svp

[BobbyJoe]

Ecrit proprement le développement de Taylor à l'ordre \( \)$n,$ en \( \)$0$, avec reste intégral de la fonction exponentielle au point \( \)$\lambda>0.$

[Eddy Gordo]

Je l'ai fait mais ça ne m'aide pas à résoudre la question et je suis pourtant sût qu'il y a une méthode plus simple...

[darklol]

Le problème est de calculer l’intégrale de \( \lambda \) à \( +\infty \) de \( u \longmapsto f_n(u) \). Trouve une formule de récurrence pour cette intégrale en faisant une intégration par parties. Ensuite tu devrais pouvoir résoudre la récurrence sans problème et vérifier que tu tombes bien sur \( \mathbb{P}(Y < n) = \sum_{k=0}^{n-1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \).

[Eddy Gordo]

Désolé si ma question est bête mais en quoi une IPP me fera passer d’une intégrale à une somme ?

[darklol]

« relation de récurrence »

[Eddy Gordo]

Bon j'abandonne cette question, merci pour vos réponses floues...

[darklol]

Non mais mec t’es sérieux, je t’ai quasiment donné la réponse. Appelle \( I_n \) ton intégrale. Tu fais une bête IPP et tu trouves une relation de récurrence entre \( I_n \) et \( I_{n-1} \), tu résous trivialement cette relation de récurrence et tu tombes directement sur ce que demande l’énoncé. T’iras nulle part dans la vie si tu continues comme ça.

[BobbyJoe]

Soit $\lambda>0$ et $n$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}.$ On écrit alors par Taylor avec reste intégral \( \)$$e^{\lambda}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda^{k}}{k!}+\int_{0}^{\lambda}\frac{(\lambda-t)^{n-1}e^{t}}{(n-1)! }dt.$$
On tire de cette relation par le changement de variables \( \)$u\mapsto \lambda-t,$ $$1=\sum_{k=0}^{n-1}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}+\int_{0}^{\lambda}\frac{u^{n-1}e^{-u}}{\Gamma(n)}du.$$
En utilisant le fait que \( \)$f_{n}$ est une densité, on a \( \)$$\int_{0}^{\lambda}\frac{u^{n-1}e^{-u}}{\Gamma(n)}du=\int_{0}^{\lambda}f_{n}(u)du=1-\int_{\lambda}^{+\infty}f_{n}(u)du.$$ Il vient bien finalement que $$\mathbb{P}(X>\lambda)=\mathbb{P}(Y<n).$$

[Dattier]

Salut,

Bon j'abandonne cette question, merci pour vos réponses floues...

L'ingratitude personne n'aime cela, y compris les personnes qui ont prient de leurs temps pour essayer de t'aider.

Cordialement.