Algèbre Linéaire

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 3901

Inscription : 04 sept. 2005 19:27

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Algèbre Linéaire

Message par JeanN » 14 janv. 2018 23:22

Commence par vérifier la surjectivité de l'application linéaire canoniquement associée à M puis déduis-en celle de phi
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 0

Inscription : 12 août 2015 15:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Algèbre Linéaire

Message par Siméon » 15 janv. 2018 13:12

Bonjour oty20,

Un résultat qu'il est bon de connaître en MP* : si $S$ est un supplémentaire de $\mathrm{Ker}(f)$, alors $f$ est bijective de $S$ vers $\mathrm{Im}(f)$.

Ceci permet de finaliser la piste que je t'ai proposée et c'est aussi la clef pour la Q1 de Jean, même si on peut raisonner faire sans.
D'ailleurs, l'application $\varphi$ de Jean correspond essentiellement à $v \mapsto f \circ v$ dans mon approche.

Messages : 6

Inscription : 30 avr. 2017 01:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Algèbre Linéaire

Message par oty20 » 20 janv. 2018 17:22

JeanN a écrit :
14 janv. 2018 23:22
Commence par vérifier la surjectivité de l'application linéaire canoniquement associée à M puis déduis-en celle de phi
salut , j'ai dis beaucoup de bêtises , honnêtement manipuler de telle applications ma embrouiller l'esprit , en cours on se contente de manipuler des matrice de taille carré ,et des applications linéaire assez formel , c'est vraiment beau de voir une tel construction possible , je comprends un peu mieux les mécanismes de cette nouvelle vue sur l’algèbre linéaire que vous m'avez faits découvrir , grâce a vous merci infiniment Mr Simeon , Mr
JeanN .

Bon je pense que c'est bon pour Q1) :
Image
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Messages : 0

Inscription : 12 août 2015 15:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Algèbre Linéaire

Message par Siméon » 20 janv. 2018 18:53

Ça m'a l'air juste !

Voici comment conclure l'autre approche :

On note $\phi$ l'isomorphisme $S \to \mathrm{Im}\,f$ défini par restriction de $f$. Pour tout $(u,k) \in C(f|_{\mathrm{Im}\,f})\times \mathcal L(S,\mathrm{Ker}\,f)$, considère alors l'unique application linéaire $\Phi(u,k) \in\mathcal L(E,E)$ telle que :
$$
\Phi(u,k)|_{\mathrm{Im}\,f} = u\qquad\text{et}\qquad \Phi(u,k)|_S = \phi^{-1}\circ u \circ \phi + k.
$$
Alors $\Phi$ est linéaire et, d'après la discussion initiale, c'est une bijection de $C(f|_{\mathrm{Im}\,f})\times \mathcal L(S,\mathrm{Ker}\,f)$ vers $C(f)$.

Répondre