Algèbre Linéaire
Re: Algèbre Linéaire
Commence par vérifier la surjectivité de l'application linéaire canoniquement associée à M puis déduis-en celle de phi
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Algèbre Linéaire
Bonjour oty20,
Un résultat qu'il est bon de connaître en MP* : si $S$ est un supplémentaire de $\mathrm{Ker}(f)$, alors $f$ est bijective de $S$ vers $\mathrm{Im}(f)$.
Ceci permet de finaliser la piste que je t'ai proposée et c'est aussi la clef pour la Q1 de Jean, même si on peut raisonner faire sans.
D'ailleurs, l'application $\varphi$ de Jean correspond essentiellement à $v \mapsto f \circ v$ dans mon approche.
Un résultat qu'il est bon de connaître en MP* : si $S$ est un supplémentaire de $\mathrm{Ker}(f)$, alors $f$ est bijective de $S$ vers $\mathrm{Im}(f)$.
Ceci permet de finaliser la piste que je t'ai proposée et c'est aussi la clef pour la Q1 de Jean, même si on peut raisonner faire sans.
D'ailleurs, l'application $\varphi$ de Jean correspond essentiellement à $v \mapsto f \circ v$ dans mon approche.
Re: Algèbre Linéaire
salut , j'ai dis beaucoup de bêtises , honnêtement manipuler de telle applications ma embrouiller l'esprit , en cours on se contente de manipuler des matrice de taille carré ,et des applications linéaire assez formel , c'est vraiment beau de voir une tel construction possible , je comprends un peu mieux les mécanismes de cette nouvelle vue sur l’algèbre linéaire que vous m'avez faits découvrir , grâce a vous merci infiniment Mr Simeon , Mr
JeanN .
Bon je pense que c'est bon pour Q1) :
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Algèbre Linéaire
Ça m'a l'air juste !
Voici comment conclure l'autre approche :
On note $\phi$ l'isomorphisme $S \to \mathrm{Im}\,f$ défini par restriction de $f$. Pour tout $(u,k) \in C(f|_{\mathrm{Im}\,f})\times \mathcal L(S,\mathrm{Ker}\,f)$, considère alors l'unique application linéaire $\Phi(u,k) \in\mathcal L(E,E)$ telle que :
$$
\Phi(u,k)|_{\mathrm{Im}\,f} = u\qquad\text{et}\qquad \Phi(u,k)|_S = \phi^{-1}\circ u \circ \phi + k.
$$
Alors $\Phi$ est linéaire et, d'après la discussion initiale, c'est une bijection de $C(f|_{\mathrm{Im}\,f})\times \mathcal L(S,\mathrm{Ker}\,f)$ vers $C(f)$.
Voici comment conclure l'autre approche :
On note $\phi$ l'isomorphisme $S \to \mathrm{Im}\,f$ défini par restriction de $f$. Pour tout $(u,k) \in C(f|_{\mathrm{Im}\,f})\times \mathcal L(S,\mathrm{Ker}\,f)$, considère alors l'unique application linéaire $\Phi(u,k) \in\mathcal L(E,E)$ telle que :
$$
\Phi(u,k)|_{\mathrm{Im}\,f} = u\qquad\text{et}\qquad \Phi(u,k)|_S = \phi^{-1}\circ u \circ \phi + k.
$$
Alors $\Phi$ est linéaire et, d'après la discussion initiale, c'est une bijection de $C(f|_{\mathrm{Im}\,f})\times \mathcal L(S,\mathrm{Ker}\,f)$ vers $C(f)$.