Point d’annulation

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Danator
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Point d’annulation

Message par Danator » mar. févr. 13, 2018 9:14 pm

Bonsoir,

(Je suis en MPSI), voici un exercice assez Laborieux :

Soit f, continue de [0,1] dans R, telle qu’il existe un entier naturel n non nul, pour tout k<n, intégrale de 0 à 1 de f(t)tkdt=0
Montrer que f s’annule n fois

Question 1 : Soif f continue et 2-pi périodique de R dans R, montrer que si elle vérifie :
\( \exists \)n \( \in \) N*; \( \forall \) k<n, \( \int_{0}^{1}{f(t)t^kdt} \)=0
Montrer que f s’annule n fois

Ma solution :
SPOILER:
je supposes que f ne s’annule qu’en moins de n points, Je supprimés ceux en lesquels elle s’annule sans changer de signe, il reste P point \( a_{1},…,a_{p} \) avec p <=n on considère alors le polynôme :
\( P=\prod{k}=1ˆ{p}(X-a_{k}) \) qui est de degré p
Ce polynôme est combinaisons des \( Xˆ{k} \) pour : 0<=k<=p<=n, on en déduis que \( \int_{0}^{1}{f(t)P(t)dt} \)
D’autre part si on compares les tableaux de signe de P et d on s’apercois Que f(t)P(t) est de signe constant que [0,1], d’ou On se retrouve avec une fonction continue, de signe constant d’integrale Nulle
Question 2 : soit f continue et 2 \( \pi \)-périodique de R dans R, montrer que si elle vérifie :
\( \exists \)n \( \in \)N*, \( \forall \)k<n \( \int_{0}^{2\pi}{f(t)cos(kt)dt} \)= \( \int_{0}^{2\pi}{f(t)sin(kt)dt} \), elle s’annule au moins 2n fois sur [0,2 \( \pi \)[

Je n’ai pas trouver, j’ai tout de même essayer avec l’exponentiel complexe etc, Si quelqu’un aurait le temps de rédiger une réponse exhaustive j’en serai très reconnaissant merci
Modifié en dernier par Danator le mer. févr. 14, 2018 11:08 pm, modifié 2 fois.

oty20
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Re: Point d’annulation

Message par oty20 » mer. févr. 14, 2018 6:26 am

la question 2) est clairement fausse , f=1 .... est un contre exemple
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Re: Point d’annulation

Message par JeanN » mer. févr. 14, 2018 1:32 pm

Ce n’est pas un contre exemple : il n’y a pas égalité des intégrales pour k=0
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Re: Point d’annulation

Message par Danator » mer. févr. 14, 2018 1:44 pm

Du coup personne ?

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Re: Point d’annulation

Message par JeanN » mer. févr. 14, 2018 2:44 pm

Patiente un peu :)
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Re: Point d’annulation

Message par Danator » mer. févr. 14, 2018 4:46 pm

Bonjour walid,

Merci de ta réponse,
Mais ton exercice est similaire mais est loin d’être le même, si tu remarque bien mes intégrales de la seconde question sont de 0 à 2 \( \pi \), ne sont pas,égale à 0, et s’annule 2n fois dans [0,2 \( \pi \)[ et non dans tout R ce qui est plus restrictif.

Cordialement

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Re: Point d’annulation

Message par noro » mer. févr. 14, 2018 4:51 pm

Je pense que ça peut être une piste:
\( \int_{0}^{2\pi}{f(t)(cos(kt)-sin(kt))dt}=0=\int_{0}^{2\pi}{f(t)(cos(kt)+cos(pi/2+kt))dt}=\int_{0}^{2\pi}{2f(t)cos(kt+\pi/4)cos(\pi/4)dt} \)

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Re: Point d’annulation

Message par Danator » mer. févr. 14, 2018 5:07 pm

[pas mon idée] Si j’appelles encore \( a_k \), k=1 à p, les p points où f s’annule en changeant de signe avec p<2n, et si je regardes la fonction
t -> \( e^{-nit} \prod_{k=1}^{p} (e^{it} - a_k \)) multipliée par sa conjuguée, sera-t-elle une bonne piste ?

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Re: Point d’annulation

Message par oty20 » mer. févr. 14, 2018 5:49 pm

JeanN a écrit :
mer. févr. 14, 2018 1:32 pm
Ce n’est pas un contre exemple : il n’y a pas égalité des intégrales pour k=0

Merci beaucoup , j'ai pas fait attention , le problème pour moi si on interprète les hypothèses en ajoutant l’hypothèse que f soit C^{1} , les conditions nous donnent une égalité des coefficients de fourrier d 'indice \( n\geq 1 , a_{n}(f)=b_{n}(f) \) et \( a_{0}(f)=0 \) , ce qui m'a semblé insuffisant pour émettre une telle conclusion .
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Re: Point d’annulation

Message par oty20 » mer. févr. 14, 2018 10:52 pm

il y a un problème , la questions deux , si j"ai compris correctement le ''ah moin 2n fois"" , (par au moin 2n fois)

pour \( n=1 \) le fait que l’intégrale de f sur \( [0,2\pi] \) soit égale a 0 donne simplement que \( f \) s'annule 1 fois , alors que l'assertion stipule 2 fois minimum , non ?
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Re: Point d’annulation

Message par Danator » mer. févr. 14, 2018 11:12 pm

oty20 a écrit :
mer. févr. 14, 2018 10:52 pm
il y a un problème , la questions deux , si j"ai compris correctement le ''ah moin 2n fois"" , (par au moin 2n fois)

pour \( n=1 \) le fait que l’intégrale de f sur \( [0,2\pi] \) soit égale a 0 donne simplement que \( f \) s'annule 1 fois , alors que l'assertion stipule 2 fois minimum , non ?
Pour n=1 on a k=0 donc l’intégrale de droite ( avec le sin ) est nulle on à donc pas de contre exemple ici

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Re: Point d’annulation

Message par oty20 » jeu. févr. 15, 2018 1:17 am

pour n=1 , l' assertion est : \( \int_{0}^{2\pi} f(t)dt=0 \) implique \( f \) s'annule au moins 2 fois sur \( [0,2\pi[ \)
ce n'est pas vrai , il suffit que \( f \) s'annule une fois .
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Re: Point d’annulation

Message par bullquies » jeu. févr. 15, 2018 1:52 am

f est 2pi périodique et continue. Si l'intégrale est nulle, f change de signe au moins une fois. Mais si f change de signe une fois sur [0,2pi[, elle doit aussi changer de signe une deuxième fois pour que les contraintes de continuité et périodicité sur f soient vérifiées (f(0) et f(2pi) sont de même signe). f peut aussi s'annuler sans changer de signe donc il y a au moins 2 annulations de f sur [0,2pi[
ingé

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Re: Point d’annulation

Message par oty20 » jeu. févr. 15, 2018 5:52 am

Merci beaucoup , j'ai oublié l’hypothèse de 2pi périodicité de \( f \) .
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Re: Point d’annulation

Message par JeanN » jeu. févr. 15, 2018 4:01 pm

Danator a écrit :
mer. févr. 14, 2018 1:44 pm
Du coup personne ?
J'ai vu cet énoncé dans la rms mais avec des hypothèses supplémentaires.
Ce forum n'a pas pour vocation de rédiger des réponses à chaque exo de la rms un tant soit peu difficile.
Montre nous que tu as cherché quelques cas particuliers, (petites valeurs de n, etc) et peut-être qu'on t'aidera.
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