Image de fonctions lineaires

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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hugo.prépa
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Image de fonctions lineaires

Message par hugo.prépa » mar. févr. 20, 2018 12:14 am

Bonsoir à tous,
J'ai besoin d'aide pour trouver l'image de la fonction g de C2(R,R) dans C0(R,R) qui a f associe f'' (on sait que g est lineaire)
Je suppose que c'est C0(R,R) mais je ne sais pas comment le demontrer (je précise que je suis en MPSI et qu'on vient de voir les images d'applications linéaires) merci d'avance

matmeca_mcf1
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Re: Image de fonctions lineaires

Message par matmeca_mcf1 » mar. févr. 20, 2018 12:18 am

As-tu vu l'intégrale de Riemann et son lien avec les primitives? Une fonction continue sur \( \mathbb{R} \) admet-elle toujours une primitive?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

hugo.prépa
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Re: Image de fonctions lineaires

Message par hugo.prépa » mar. févr. 20, 2018 12:29 am

Non je n'ai pas vu l'intégrale de Riemann, et oui si je ne me trompe pas il y a bien un théorème qui dit qu'une fonction continue sur un intervalle admet une primitive.
En revanche il y a un théorème qui dit que si g : E->F est lineaire, F est surjective ssi Im g=F
Il me suffirait donc de montrer que g est surjective

Luckyos
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Re: Image de fonctions lineaires

Message par Luckyos » mar. févr. 20, 2018 12:29 am

Salut, alors l'usage est d'au moins dire où on bloque quand on pose une question...

Essaie déjà de résoudre l'exercice avec \( D \) qui à \( f \in C^{1}( \mathbb{R}, \mathbb{R}) \) associe \( f' \), de même espace d'arrivée que \( g \). Il suffit de revenir à la définition de l'image et de trouver le bon antécédent.

Il reste à faire le lien avec \( g \).
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Luckyos
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Re: Image de fonctions lineaires

Message par Luckyos » mar. févr. 20, 2018 12:37 am

L'intégrale de Riemann, ça veut juste dire l'intégrale que tu vois cette année, c'est pas très important.
Concernant ton théorème sur la surjectivité, c'est normal d'avoir besoin d'invoquer un résultat de cours comme celui-ci quand on débute sur une notion, mais tu vas vite te rendre compte que c'est presque une évidence, et t'auras pas vraiment besoin de l'apprendre ni de l'évoquer en tant que tel sur une copie ou à l'oral.
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matmeca_mcf1
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Re: Image de fonctions lineaires

Message par matmeca_mcf1 » mar. févr. 20, 2018 12:42 am

L'intégrale de Riemann sert à démontrer l'existence de la primitive d'une fonction continue. Si tu as l'existence de la primitive en théorème, tu n'en as pas besoin.
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