Développements limités au voisinage de 1

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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flo09
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Développements limités au voisinage de 1

Message par flo09 » sam. févr. 24, 2018 12:27 pm

Voici la question sur laquelle je bloque

f(x)=x-ln(1+x^2)
Ecrire un développement limité à l'ordre 3 en 0 de ln(1+u).
En déduire un équivalent simple (polynomial) de f(x)-f(1) au voisinage de 1.

Pour la première partie de la question j'ai simplement utilisé la formule du cours:

ln(1+u)= u + (u^2)/2 + (u^3)/3 + o(u^3)
0


Ensuite j'ai cherché un moyen de trouver un lien entre f(x)-f(1) et ln(1+u):
j'ai donc trouvé f(x)-f(1)=x-1 + ln(2/(1+x^2))
et j'ai posé u=ln(2/(1+x^2))-1
Mais je n'obtient pas de résultat sous forme de polynome
Ce qui me pose le plus problème est le fait qu'il faille que je trouve une équivalence au voisinage de 1

Luckyos
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Re: Développements limités au voisinage de 1

Message par Luckyos » sam. févr. 24, 2018 2:51 pm

Salut, pour faire un DL autre part qu'en 0, il suffit de se ramener à un DL en 0 par un changement de variable :

Tu poses \( h = x - 1 \), ce qui te permet d'écrire \( f(x) = f(1 + h) \). Ensuite, quand \( x \rightarrow 1 \), \( h \rightarrow 0 \) et il suffit donc de faire les calculs avec \( h \), en le remplaçant à la fin par son expression en fonction de \( x \).

Donc il suffit de bourriner le DL de \( f \) à l'ordre 3 en 1 avec la méthode que je viens de te donner.
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flo09
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Re: Développements limités au voisinage de 1

Message par flo09 » sam. févr. 24, 2018 3:07 pm

Le problème c'est que je ne trouve pas de changement de variable qui me permet de calculer un DL en 0 , le changement de variable que tu me donnes donne la formule
h-ln(1+(1+h)^2)+ln2 dont je ne sais pas calculer le DL en 0
De plus l'énoncé demande explicitement d'utiliser le résultat de cours du DL en 0 de ln(1+u)

Luckyos
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Re: Développements limités au voisinage de 1

Message par Luckyos » sam. févr. 24, 2018 3:17 pm

L'intérêt de la question intermédiaire est surtout de dire qu'il faudra aller jusqu'à l'ordre \( 3 \), ce qui est pas évident à priori. C'est sûr qu'à un moment ou à un autre il faudra développer \( ln(1 + u) \) vu la tête de la fonction.

Tu dois persévérer dans ton calcul, en commençant par développer le carré. Ensuite t'obtiens \( ln( 2 + 2h + h²) \). Maintenant, tout ce qui te sépare de \( ln(1 + u) \) c'est ce \( 2 \). Il suffit de le factoriser, et magie il se simplifie avec le \( ln(2) \).

Il reste juste à effectuer la substitution de manière efficace.
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flo09
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Re: Développements limités au voisinage de 1

Message par flo09 » sam. févr. 24, 2018 3:21 pm

Merci beaucoup je comprend beaucoup mieux la logique maintenant :D

JeanN
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Re: Développements limités au voisinage de 1

Message par JeanN » sam. févr. 24, 2018 5:16 pm

flo09 a écrit :
sam. févr. 24, 2018 12:27 pm
Voici la question sur laquelle je bloque

f(x)=x-ln(1+x^2)
Ecrire un développement limité à l'ordre 3 en 0 de ln(1+u).
En déduire un équivalent simple (polynomial) de f(x)-f(1) au voisinage de 1.

Pour la première partie de la question j'ai simplement utilisé la formule du cours:

ln(1+u)= u + (u^2)/2 + (u^3)/3 + o(u^3)
0


Ensuite j'ai cherché un moyen de trouver un lien entre f(x)-f(1) et ln(1+u):
j'ai donc trouvé f(x)-f(1)=x-1 + ln(2/(1+x^2))
et j'ai posé u=ln(2/(1+x^2))-1
Mais je n'obtient pas de résultat sous forme de polynome
Ce qui me pose le plus problème est le fait qu'il faille que je trouve une équivalence au voisinage de 1
Attention : il y a une erreur dans ta formule de cours.
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flo09
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Re: Développements limités au voisinage de 1

Message par flo09 » mer. févr. 28, 2018 5:41 pm

Ah oui merci mais c'est juste une faute de frappe c'était juste sur mon exo :D

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