Développements limités au voisinage de 1

[flo09]

Voici la question sur laquelle je bloque

f(x)=x-ln(1+x^2)
Ecrire un développement limité à l'ordre 3 en 0 de ln(1+u).
En déduire un équivalent simple (polynomial) de f(x)-f(1) au voisinage de 1.

Pour la première partie de la question j'ai simplement utilisé la formule du cours:

ln(1+u)= u + (u^2)/2 + (u^3)/3 + o(u^3)
0


Ensuite j'ai cherché un moyen de trouver un lien entre f(x)-f(1) et ln(1+u):
j'ai donc trouvé f(x)-f(1)=x-1 + ln(2/(1+x^2))
et j'ai posé u=ln(2/(1+x^2))-1
Mais je n'obtient pas de résultat sous forme de polynome
Ce qui me pose le plus problème est le fait qu'il faille que je trouve une équivalence au voisinage de 1

[Luckyos]

Salut, pour faire un DL autre part qu'en 0, il suffit de se ramener à un DL en 0 par un changement de variable :

Tu poses $ h = x - 1 $, ce qui te permet d'écrire $ f(x) = f(1 + h) $. Ensuite, quand $ x \rightarrow 1 $, $ h \rightarrow 0 $ et il suffit donc de faire les calculs avec $ h $, en le remplaçant à la fin par son expression en fonction de $ x $.

Donc il suffit de bourriner le DL de $ f $ à l'ordre 3 en 1 avec la méthode que je viens de te donner.

[flo09]

Le problème c'est que je ne trouve pas de changement de variable qui me permet de calculer un DL en 0 , le changement de variable que tu me donnes donne la formule
h-ln(1+(1+h)^2)+ln2 dont je ne sais pas calculer le DL en 0
De plus l'énoncé demande explicitement d'utiliser le résultat de cours du DL en 0 de ln(1+u)

[Luckyos]

L'intérêt de la question intermédiaire est surtout de dire qu'il faudra aller jusqu'à l'ordre $ 3 $, ce qui est pas évident à priori. C'est sûr qu'à un moment ou à un autre il faudra développer $ ln(1 + u) $ vu la tête de la fonction.

Tu dois persévérer dans ton calcul, en commençant par développer le carré. Ensuite t'obtiens $ ln( 2 + 2h + h²) $. Maintenant, tout ce qui te sépare de $ ln(1 + u) $ c'est ce $ 2 $. Il suffit de le factoriser, et magie il se simplifie avec le $ ln(2) $.

Il reste juste à effectuer la substitution de manière efficace.

[flo09]

Merci beaucoup je comprend beaucoup mieux la logique maintenant

[JeanN]

Voici la question sur laquelle je bloque

f(x)=x-ln(1+x^2)
Ecrire un développement limité à l'ordre 3 en 0 de ln(1+u).
En déduire un équivalent simple (polynomial) de f(x)-f(1) au voisinage de 1.

Pour la première partie de la question j'ai simplement utilisé la formule du cours:

ln(1+u)= u + (u^2)/2 + (u^3)/3 + o(u^3)
0


Ensuite j'ai cherché un moyen de trouver un lien entre f(x)-f(1) et ln(1+u):
j'ai donc trouvé f(x)-f(1)=x-1 + ln(2/(1+x^2))
et j'ai posé u=ln(2/(1+x^2))-1
Mais je n'obtient pas de résultat sous forme de polynome
Ce qui me pose le plus problème est le fait qu'il faille que je trouve une équivalence au voisinage de 1

Attention : il y a une erreur dans ta formule de cours.

[flo09]

Ah oui merci mais c'est juste une faute de frappe c'était juste sur mon exo