Espaces tangents

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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noro
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Espaces tangents

Message par noro » sam. avr. 14, 2018 4:43 pm

Bonjour,
Voilà j'ai deux questions qui me taraudent :D :
Quand est-ce que l'on peut affirmer qu'un espace tangent en un point est un espace vectoriel ?
L'espace tangent en un point d'une ligne de niveau est-il égal au noyau de la différentielle en ce point ?
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matmeca_mcf1
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Re: Espaces tangents

Message par matmeca_mcf1 » sam. avr. 14, 2018 4:57 pm

Cela dépend de la définition d'espace tangent. S'il est défini comme espace vectoriel et non comme espace affine, alors oui, c'est un sous-espace vectoriel.

Pour la question suivante, cela provient de la notion de sous-variétés différentielle (et on sort largement du programme de prépas). L'espace tangent en un point \( x \) d'une ligne de niveau \( \{y:f(y)=c\} \) est effectivement défini comme le noyau de la différentielle de \( f \). On va demander quelques propriétés sur \( f:\mathbb{R}^d\supset\Omega\to\mathbb{R} \), de classe \( \mathcal{C}^1 \) et qu'en tout \( x \) appartenant à \( \{y:f(y)=c\} \), on ait que la différentielle de \( f \) en \( x \) soit surjective.

Pour plus de détails, je vous renvoie à un cours de géométrie différentielle.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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noro
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Re: Espaces tangents

Message par noro » sam. avr. 14, 2018 5:20 pm

La définition d'un espace tangent en \( a\in A \) vue en cours est la suivante : \( T_aA=\{v, \exists \epsilon > 0,\exists \gamma :] -\epsilon,\epsilon[ \rightarrow A, \gamma(0)=a,\gamma'(0)=v\} \).
Du coup c'est pas tout le temps un espace vectoriel, ou alors je ne vois pas pourquoi ça le serait...
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matmeca_mcf1
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Re: Espaces tangents

Message par matmeca_mcf1 » sam. avr. 14, 2018 5:26 pm

Quelles sont les propriétés de \( A \) dans votre cours? C'est un espace vectoriel si \( A \) est une sous-variété différentielle (et il y a quatre définitions équivalentes de sous-variétés). Cela me surprend que ce soit au programme de prépa.

Voici un lien vers le polycopié de cours de géométrie différentielle de Frédéric Helein de L3 à Cachan: http://webusers.imj-prg.fr/~frederic.he ... rs/geo.pdf Malheureusement, le serveur ne répond pas, donc il faudra attendre un peu.
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noro
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Re: Espaces tangents

Message par noro » sam. avr. 14, 2018 5:41 pm

La définition est donné pour A une partie quelconque de E, ensuite on a deux propriétés sur les espaces tangents de lignes de niveau ou graphe de fonctions C1. Par contre la notion de variété différentielle n'est pas au programme...
En tout cas merci pour le lien.
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matmeca_mcf1
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Re: Espaces tangents

Message par matmeca_mcf1 » sam. avr. 14, 2018 5:45 pm

Effectivement, pour une parie quelconque de E, l'espace tangent ne sera pas forcément un sous espace vectoriel. Mais l'appellera-t-on espace tangent dans ce cas? Pour une partie quelconque, on peut juste dire que 0 est dedans, et qu'il s'agit d'une union de droites vectorielles.

EDIT: Ne regardez pas un cours aussi hors-programme si vous êtes en prépa à un mois des concours. Vous aurez le temps de le regarder après les concours.
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Tompouce67
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Re: Espaces tangents

Message par Tompouce67 » mar. avr. 17, 2018 9:55 am

noro a écrit :
sam. avr. 14, 2018 5:20 pm
La définition d'un espace tangent en \( a\in A \) vue en cours est la suivante : \( T_aA=\{v, \exists \epsilon > 0,\exists \gamma :] -\epsilon,\epsilon[ \rightarrow A, \gamma(0)=a,\gamma'(0)=v\} \).
Du coup c'est pas tout le temps un espace vectoriel, ou alors je ne vois pas pourquoi ça le serait...
Si \( v, w \) sont des éléments de \( T_aA \) et \( \lambda \) un réel, on peut trouver des \( \epsilon \) et \( \gamma \) qui vérifient la propriété pour \( v+w \) et \( \lambda v \), en utilisant des composées et des sommes.
2008-2010 Lycée Kléber Strasbourg (MPSI4 - MP*)
2010-2014 Ecole Polytechnique - Master Physique des Hautes Energies (X-ETH Zürich)
2014-2017 Doctorat Laboratoire Leprince-Ringuet - Expérience CMS
2017-... Post-doc Imperial College - Expérience CMS

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Re: Espaces tangents

Message par darklol » mar. avr. 17, 2018 11:11 am

Tompouce67 a écrit :
mar. avr. 17, 2018 9:55 am
noro a écrit :
sam. avr. 14, 2018 5:20 pm
La définition d'un espace tangent en \( a\in A \) vue en cours est la suivante : \( T_aA=\{v, \exists \epsilon > 0,\exists \gamma :] -\epsilon,\epsilon[ \rightarrow A, \gamma(0)=a,\gamma'(0)=v\} \).
Du coup c'est pas tout le temps un espace vectoriel, ou alors je ne vois pas pourquoi ça le serait...
Si \( v, w \) sont des éléments de \( T_aA \) et \( \lambda \) un réel, on peut trouver des \( \epsilon \) et \( \gamma \) qui vérifient la propriété pour \( v+w \) et \( \lambda v \), en utilisant des composées et des sommes.
Si \( A \) est une partie quelconque, ok pour la stabilité par multiplication externe, mais pour la somme ça ne marche pas. Si tu prends \( E = \mathbb{R}^2 \), \( D_1 = \{ (1,y); y \in \mathbb{R} \} \), \( D_2 = \{ (x,1); x \in \mathbb{R} \} \) et \( A = D_1 \cup D_2 \subset E \), les seules directions possibles pour \( \gamma’(0) \) sont celles de \( (1,0) \) ou \( (0,1) \).
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Re: Espaces tangents

Message par Tompouce67 » ven. avr. 20, 2018 10:01 am

Effectivement, j'avais en tête un ensemble paramétrisable par une fonction C1.
(Le problème est uniquement avec l'espace tangent en (1,1) dans cet example.)
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