X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Jabernoulli
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X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par Jabernoulli » mer. avr. 18, 2018 8:37 pm

Bonsoir a tous,

Il s'agit d'une question (III.2) du très 'sympathique' sujet de PC de ce matin sur laquelle je voulais avoir vos éventuelles pistes de résolution.. Un raisonnement de dénombrement semble s'imposer mais je n'ai pas vraiment vu par ou le prendre...

On introduit une variable aléatoire uniforme \( Z :\Omega\rightarrow \left \{-1,1 \right \}^n \)
Pour \( \omega\in\Omega \) on note \( Z_i(\omega) \) les coordonnées de \( Z(\omega) \). Montrer que pour tout
\( A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) \)
on a
\( \forall i\in \left \{1,...,n\right\}, E[\left |\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right |]=\frac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left |n-2k \right | \)

Ou \( M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) \) est l'ensemble des matrices de coefficients \( 1 \) ou \( -1 \)

Bonne soirée et bonne suite ces jours-ci
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matmeca_mcf1
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par matmeca_mcf1 » mer. avr. 18, 2018 9:03 pm

Soit \( A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) \). Soit \( i \) dans \( \{1,\ldots,n\} \). On pose
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les \( B_{k,n} \) forment une partition de \( \{-1,+1\}^n \) pour \( k \) dans \( \{0,\ldots,n\} \).

On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\lvert2k-n\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\mathrm{card}(B_{k,n})\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}
\end{split}
$$

On est passé de la notation \( C_n^k \) à la notation \( \binom{n}{k} \) en prépa?

EDIT changement scosmétiques dans les formules et corrections de typos sur ) }

EDIT 2: changement B_{k,n} partition de {1,...,n} en partition de {-1,1}^n
Modifié en dernier par matmeca_mcf1 le jeu. avr. 19, 2018 9:16 am, modifié 2 fois.
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galois18
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par galois18 » mer. avr. 18, 2018 9:07 pm

Bonsoir,
Je me replonge pas dans le sujet ce soir .......
Mais je peux dire quand même que j'ai trouvé l'épreuve plutôt très difficile
Bon courage à tous

Futurtaupin
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par Futurtaupin » mer. avr. 18, 2018 9:08 pm

matmeca_mcf1 a écrit :
mer. avr. 18, 2018 9:03 pm

On est passé de la notation \( C_n^k \) à la notation \( \binom{n}{k} \) en prépa?
oui :)
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oty20
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par oty20 » mer. avr. 18, 2018 9:10 pm

un sujet exclusivement probas ?
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Jabernoulli
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par Jabernoulli » mer. avr. 18, 2018 9:27 pm

oty20 a écrit :
mer. avr. 18, 2018 9:10 pm
un sujet exclusivement probas ?
probas, analyse, dénombrement...il y avait beaucoup de choses, quand même assez difficile..
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oty20
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par oty20 » jeu. avr. 19, 2018 6:14 am

matmeca_mcf1 a écrit :
mer. avr. 18, 2018 9:03 pm
Soit \( A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) \). Soit \( i \) dans \( \{1,\ldots,n\} \). On pose
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les \( B_{k,n} \) forment une partition de \( \{1,\ldots,n\} \) pour \( k \) dans \( \{0,\ldots,n\} \).
On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
\end{split}
$$


Bonjour Professeur , je ne comprend pas bien les notations , les \( B_{k,n} \) contiennent des \( n-uplet ,x \) non ? si c'est le cas comment peuvent t'il former une partition de \( \{1,...,n\} \) , je ne comprend pas la formule de l’espérance non plus :oops: .

On peut remarquer que quand exactement \( k \) indices de \( (z_{j}) \) coïncident avec le signe de leurs \( a_{i,j} \) respectivement , alors en notant (pour simplifier l’écriture tex ) \( X=\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}z_{j} \) , \( |X|=|2k-n| \)
d’après le théorème fondamental de Kolmogorov ; soient \( (S_{j})_{j\in [[1,n]]} \) des variables aléatoire mutuellement indépendantes tel que :
\( S_{j} \sim a_{i,j}Z_{j} \)

Soit \( i_{1}<...<i_{k} \) alors : \( P(|X|=|2k-n|)=P(\cup_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}}~~(S_{i_{1}}=1,...,S_{i_{k}}=1,S_{i_{k+1}}=-1,..,S_{i_{n}}=-1)~~)
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}}P((S_{i_{1}}=1,...,S_{i_{k}}=1,S_{i_{k+1}}=-1,..,S_{i_{n}}=-1)~)
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}} \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}} \binom{n}{k} \) de la on peut tirer la formule demander sauf erreur de ma part .
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par matmeca_mcf1 » jeu. avr. 19, 2018 10:28 am

oty20 a écrit :
jeu. avr. 19, 2018 6:14 am
je ne comprend pas bien les notations , les \( B_{k,n} \) contiennent des \( n-uplet ,x \) non ? si c'est le cas comment peuvent t'il former une partition de \( \{1,...,n\} \) , je ne comprend pas la formule de l’espérance non plus :oops: .
Je voulais dire partition de \( \{-1,+1\}^n \). C'est corrigé maintenant. De cette manière les \( Z^{-1}(B_{k,n})_{0\leq k\leq n} \) forment une partition de \( \Omega \).
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par Desert » sam. avr. 21, 2018 2:53 am

Quelqu'un pourrait poster le sujet s'il vous plaît ?

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