X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
Bonsoir a tous,
Il s'agit d'une question (III.2) du très 'sympathique' sujet de PC de ce matin sur laquelle je voulais avoir vos éventuelles pistes de résolution.. Un raisonnement de dénombrement semble s'imposer mais je n'ai pas vraiment vu par ou le prendre...
On introduit une variable aléatoire uniforme $ Z :\Omega\rightarrow \left \{-1,1 \right \}^n $
Pour $ \omega\in\Omega $ on note $ Z_i(\omega) $ les coordonnées de $ Z(\omega) $. Montrer que pour tout
$ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $
on a
$ \forall i\in \left \{1,...,n\right\}, E[\left |\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right |]=\frac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left |n-2k \right | $
Ou $ M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $ est l'ensemble des matrices de coefficients $ 1 $ ou $ -1 $
Bonne soirée et bonne suite ces jours-ci
Il s'agit d'une question (III.2) du très 'sympathique' sujet de PC de ce matin sur laquelle je voulais avoir vos éventuelles pistes de résolution.. Un raisonnement de dénombrement semble s'imposer mais je n'ai pas vraiment vu par ou le prendre...
On introduit une variable aléatoire uniforme $ Z :\Omega\rightarrow \left \{-1,1 \right \}^n $
Pour $ \omega\in\Omega $ on note $ Z_i(\omega) $ les coordonnées de $ Z(\omega) $. Montrer que pour tout
$ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $
on a
$ \forall i\in \left \{1,...,n\right\}, E[\left |\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right |]=\frac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left |n-2k \right | $
Ou $ M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $ est l'ensemble des matrices de coefficients $ 1 $ ou $ -1 $
Bonne soirée et bonne suite ces jours-ci
2016-2018 PCSI-PC* Carnot Dijon
CentraleSupélec P2021
"Wir müssen wissen — wir werden wissen!" - D. Hilbert
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
Soit $ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $. Soit $ i $ dans $ \{1,\ldots,n\} $. On pose
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les $ B_{k,n} $ forment une partition de $ \{-1,+1\}^n $ pour $ k $ dans $ \{0,\ldots,n\} $.
On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\lvert2k-n\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\mathrm{card}(B_{k,n})\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}
\end{split}
$$
On est passé de la notation $ C_n^k $ à la notation $ \binom{n}{k} $ en prépa?
EDIT changement scosmétiques dans les formules et corrections de typos sur ) }
EDIT 2: changement B_{k,n} partition de {1,...,n} en partition de {-1,1}^n
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les $ B_{k,n} $ forment une partition de $ \{-1,+1\}^n $ pour $ k $ dans $ \{0,\ldots,n\} $.
On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\lvert2k-n\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\mathrm{card}(B_{k,n})\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}
\end{split}
$$
On est passé de la notation $ C_n^k $ à la notation $ \binom{n}{k} $ en prépa?
EDIT changement scosmétiques dans les formules et corrections de typos sur ) }
EDIT 2: changement B_{k,n} partition de {1,...,n} en partition de {-1,1}^n
Dernière modification par matmeca_mcf1 le 19 avr. 2018 09:16, modifié 2 fois.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
Bonsoir,
Je me replonge pas dans le sujet ce soir .......
Mais je peux dire quand même que j'ai trouvé l'épreuve plutôt très difficile
Bon courage à tous
Je me replonge pas dans le sujet ce soir .......
Mais je peux dire quand même que j'ai trouvé l'épreuve plutôt très difficile
Bon courage à tous
Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
ouimatmeca_mcf1 a écrit : ↑18 avr. 2018 21:03
On est passé de la notation $ C_n^k $ à la notation $ \binom{n}{k} $ en prépa?
15-17 : PCSI/PC*
ENTPE Fonctionnaire
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
un sujet exclusivement probas ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
probas, analyse, dénombrement...il y avait beaucoup de choses, quand même assez difficile..
2016-2018 PCSI-PC* Carnot Dijon
CentraleSupélec P2021
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
matmeca_mcf1 a écrit : ↑18 avr. 2018 21:03Soit $ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $. Soit $ i $ dans $ \{1,\ldots,n\} $. On pose
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les $ B_{k,n} $ forment une partition de $ \{1,\ldots,n\} $ pour $ k $ dans $ \{0,\ldots,n\} $.
On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
\end{split}
$$
Bonjour Professeur , je ne comprend pas bien les notations , les $ B_{k,n} $ contiennent des $ n-uplet ,x $ non ? si c'est le cas comment peuvent t'il former une partition de $ \{1,...,n\} $ , je ne comprend pas la formule de l’espérance non plus .
On peut remarquer que quand exactement $ k $ indices de $ (z_{j}) $ coïncident avec le signe de leurs $ a_{i,j} $ respectivement , alors en notant (pour simplifier l’écriture tex ) $ X=\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}z_{j} $ , $ |X|=|2k-n| $
d’après le théorème fondamental de Kolmogorov ; soient $ (S_{j})_{j\in [[1,n]]} $ des variables aléatoire mutuellement indépendantes tel que :
$ S_{j} \sim a_{i,j}Z_{j} $
Soit $ i_{1}<...<i_{k} $ alors : $ P(|X|=|2k-n|)=P(\cup_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}}~~(S_{i_{1}}=1,...,S_{i_{k}}=1,S_{i_{k+1}}=-1,..,S_{i_{n}}=-1)~~)
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}}P((S_{i_{1}}=1,...,S_{i_{k}}=1,S_{i_{k+1}}=-1,..,S_{i_{n}}=-1)~)
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}} \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}} \binom{n}{k} $ de la on peut tirer la formule demander sauf erreur de ma part .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
Je voulais dire partition de $ \{-1,+1\}^n $. C'est corrigé maintenant. De cette manière les $ Z^{-1}(B_{k,n})_{0\leq k\leq n} $ forment une partition de $ \Omega $.
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse
Quelqu'un pourrait poster le sujet s'il vous plaît ?