Les dattes à Dattier

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 6:32 pm

@Matmeca : Bravo

énoncé 146 : minimisation 2
Trouver le minimum de \( \sum\limits_{i=0}^n (x_i^2+2x_{n-i}^2-x_i\times x_{n-i}) \).
Les énigmes non encore résolues ici (si vous voulez la solution de l'une d'elles faîtes le moi savoir) ; les nouvelles ici : la boîte à outil du collé

Nabuco
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » jeu. juin 14, 2018 7:12 pm

Si n est pair on a un terme au milieu du type $2{x_{\frac{n}{2}}^{2}}$ positif.
Ensuite en fait il suffit de regarder comment minimiser à i fixé $3{x_{i}}^{2}+3{x_{n-i}}^{2}-2x_{i}x_{n-i}=2{x_{i}}^{2}+2{x_{n-i}}^{2}+(x_{i}-x_{n-i})^{2}$ qui est encore positif. On a donc le fait que la somme est positive et minimale pour tous les $x_{i}$ nuls et vaut 0.

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 7:16 pm

@Nabuco : Bravo
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 8:09 pm

énoncé 147 : minimisation 3
Trouver le minimum de \( \sum\limits_{i=0}^n [(S-x_i)^2+i\times x_{n-i}] \)
Avec $S=\sum x_i$
Les énigmes non encore résolues ici (si vous voulez la solution de l'une d'elles faîtes le moi savoir) ; les nouvelles ici : la boîte à outil du collé

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oty20
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » dim. juin 17, 2018 9:26 am

matmeca_mcf1 a écrit :
jeu. juin 14, 2018 3:31 pm
Posons \( A \) la matrice symétrique définie positive de taille \( n \) qui vaut 2 sur la diagonale et 0 ailleurs. Posons \( \vec{b} \) le vecteur colonne de taille \( n \) et dont la \( i \)eme composante vaut \( i \). On pose la fonctionnelle:
$$
\psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\\
\vec{x}\mapsto \frac{1}{2}\vec{x}^\top A\vec{x}-\vec{b}^{\top}\vec{x}.
$$
Le problème revient à trouver le minimum de \( \psi \). On vérifie aisément que \( \psi \) est continue sur \( \mathbb{R}^n \), et que \( \psi(x) \) tend vers \( +\infty \) quand \( \lVert\vec{x}\rVert \) tend vers \( +\infty \). Donc \( \psi \) admet au moins un minimum. De plus \( \psi \) est strictement convexe donc ce minimum est unique. En calculant la différentielle de \( \psi \), on obtient
$$
\mathrm{d}\psi(\vec{x})(\vec{h})=\vec{h}^\top(A\vec{x}-\vec{b})
$$
Au point où le minimum de \( \psi \) est atteint, cette valeur s'annule pour tout \( \vec{h} \). Donc, le minimum est atteint en \( \vec{x}=A^{-1}\vec{b} \).

Revenons au cas particulier. On a donc ue le minimum est atteint quand \( x_i=i/2 \). Et le minimum est \( -\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}i^2 \).


Bonjour, n'est ce pas la forme différentiel de la méthode du multiplicateur de Lagrange ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. juin 19, 2018 9:59 pm

Bonsoir,

énoncé 148 : dénombrement
On prend une urne pleine de k boules blanches indiscernables et n boules noires indiscernables.
On tire toutes les boules une à une sans remise.
Combien y-a-t-il de tirages possible, avec pour dernière boule tirée, une boule noire ?

Bonne soirée.
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alvaare
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Re: Les dattes à Dattier

Message par alvaare » mer. juin 20, 2018 8:47 am

Dattier a écrit :
mar. juin 19, 2018 9:59 pm
Bonsoir,

énoncé 148 : dénombrement
On prend une urne pleine de k boules blanches indiscernables et n boules noires indiscernables.
On tire toutes les boules une à une sans remise.
Combien y-a-t-il de tirages possible, avec pour dernière boule tirée, une boule noire ?

Bonne soirée.
Par symétrie, cet exercice revient à trouver les tirages possibles qui commencent par une boule noire. On peut alors enlever cette boule de l'urne et chercher tous les tirages possibles avec k boules blanches et n-1 boules noires: \( {n+k-1}\choose{k} \)

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. juin 20, 2018 8:57 am

Bonjour,

Bravo.

Bonne journée.
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