Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 6:32 pm

@Matmeca : Bravo

énoncé 146 : minimisation 2
Trouver le minimum de \( \sum\limits_{i=0}^n (x_i^2+2x_{n-i}^2-x_i\times x_{n-i}) \).
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

Nabuco
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » jeu. juin 14, 2018 7:12 pm

Si n est pair on a un terme au milieu du type $2{x_{\frac{n}{2}}^{2}}$ positif.
Ensuite en fait il suffit de regarder comment minimiser à i fixé $3{x_{i}}^{2}+3{x_{n-i}}^{2}-2x_{i}x_{n-i}=2{x_{i}}^{2}+2{x_{n-i}}^{2}+(x_{i}-x_{n-i})^{2}$ qui est encore positif. On a donc le fait que la somme est positive et minimale pour tous les $x_{i}$ nuls et vaut 0.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 7:16 pm

@Nabuco : Bravo
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 8:09 pm

énoncé 147 : minimisation 3
Trouver le minimum de \( \sum\limits_{i=0}^n [(S-x_i)^2+i\times x_{n-i}] \)
Avec $S=\sum x_i$
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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oty20
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » dim. juin 17, 2018 9:26 am

matmeca_mcf1 a écrit :
jeu. juin 14, 2018 3:31 pm
Posons \( A \) la matrice symétrique définie positive de taille \( n \) qui vaut 2 sur la diagonale et 0 ailleurs. Posons \( \vec{b} \) le vecteur colonne de taille \( n \) et dont la \( i \)eme composante vaut \( i \). On pose la fonctionnelle:
$$
\psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\\
\vec{x}\mapsto \frac{1}{2}\vec{x}^\top A\vec{x}-\vec{b}^{\top}\vec{x}.
$$
Le problème revient à trouver le minimum de \( \psi \). On vérifie aisément que \( \psi \) est continue sur \( \mathbb{R}^n \), et que \( \psi(x) \) tend vers \( +\infty \) quand \( \lVert\vec{x}\rVert \) tend vers \( +\infty \). Donc \( \psi \) admet au moins un minimum. De plus \( \psi \) est strictement convexe donc ce minimum est unique. En calculant la différentielle de \( \psi \), on obtient
$$
\mathrm{d}\psi(\vec{x})(\vec{h})=\vec{h}^\top(A\vec{x}-\vec{b})
$$
Au point où le minimum de \( \psi \) est atteint, cette valeur s'annule pour tout \( \vec{h} \). Donc, le minimum est atteint en \( \vec{x}=A^{-1}\vec{b} \).

Revenons au cas particulier. On a donc ue le minimum est atteint quand \( x_i=i/2 \). Et le minimum est \( -\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}i^2 \).


Bonjour, n'est ce pas la forme différentiel de la méthode du multiplicateur de Lagrange ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. juin 19, 2018 9:59 pm

Bonsoir,

énoncé 148 : dénombrement
On prend une urne pleine de k boules blanches indiscernables et n boules noires indiscernables.
On tire toutes les boules une à une sans remise.
Combien y-a-t-il de tirages possible, avec pour dernière boule tirée, une boule noire ?

Bonne soirée.
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

alvaare
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Re: Les dattes à Dattier

Message par alvaare » mer. juin 20, 2018 8:47 am

Dattier a écrit :
mar. juin 19, 2018 9:59 pm
Bonsoir,

énoncé 148 : dénombrement
On prend une urne pleine de k boules blanches indiscernables et n boules noires indiscernables.
On tire toutes les boules une à une sans remise.
Combien y-a-t-il de tirages possible, avec pour dernière boule tirée, une boule noire ?

Bonne soirée.
Par symétrie, cet exercice revient à trouver les tirages possibles qui commencent par une boule noire. On peut alors enlever cette boule de l'urne et chercher tous les tirages possibles avec k boules blanches et n-1 boules noires: \( {n+k-1}\choose{k} \)
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. juin 20, 2018 8:57 am

Bonjour,

Bravo.

Bonne journée.
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. juin 26, 2018 6:28 pm

Bonjour,


énoncé 149 : \( \textit{ Racine fonctionnelle } \)
Trouver une fonction $g$ de $[-1,0]$ dans lui même et une approximation de $g$ sur $-1,1/2,0$ à $10^{-1}$ : vérifiant $g(g(x))=x^2+2x$


énoncé 150 : \( \textit{ Racine fonctionnelle 2 } \)
Trouver une fonction $g$ de $[-1,1]$ dans lui même et une approximation de $g$ sur $-1,0,1$ à $10^{-1}$ : vérifiant $g(g(x))−4g(x)=x^2$.


Bonne journée.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. juil. 01, 2018 9:03 pm

un peu de crypto :

Image
Modifié en dernier par Dattier le lun. août 06, 2018 3:50 pm, modifié 1 fois.
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. juil. 01, 2018 9:08 pm

Bonus : Montrer que savoir casser Diffie-Hellmann est équivalent à savoir calculer f
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Re: Les dattes à Dattier

Message par 1sala23 » lun. juil. 02, 2018 12:16 am

Dattier a écrit :
jeu. juin 14, 2018 2:51 pm
Salut,

énoncé 145 : minimisation
Trouver le minimum de : \( \sum \limits_{i=1}^n (x_i^2-i\times x_i) \).

Bonne journée.
\( \sum \limits_{i=1}^n (x_i^2-i\times x_i) = \sum \limits_{i=1}^n (x_i\times (x_i - i)) \)

L'extremum de la fonction \( f(x_i) = x_i^2 -ix_i \) est \( -\frac{-i}{2\times 1} \) soit \( \frac{i}{2} \). Donc le minimum de \( \sum \limits_{i=1}^n (x_i^2-i\times x_i) \) s'obtient avec \( x_i = \frac{i}{2} \).

Et \( \sum \limits_{i=1}^n ((\frac{i}{2})^2-i\times \frac{i}{2}) \)
\( = \sum \limits_{i=1}^n (-\frac{i^2}{4}) \)
\( = -\frac{1}{4} \times \sum \limits_{i=1}^n i^2 \)
\( = -\frac{1}{4} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Hibiscus » lun. juil. 02, 2018 2:54 am

C'est pas des maths, mais vu l'ambiance du fil, je me suis dit, pourquoi ne pas le proposer :
(peut-être est-il mieux placé dans la rubrique des rentrées en mpsi...)

Soit A le langage constitué de la seule chaîne s, telle que

\( s= \begin{cases} 0 &\text{Si Dieu n'existe pas} \\
1 & \text{Si Dieu existe}\\
\end{cases} \)

Est-il décidable ? Pourquoi ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par 1sala23 » lun. juil. 02, 2018 10:21 am

Hibiscus, je ne comprends pas la question, que veux dire "Est-il décidable" ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par siro » lun. juil. 02, 2018 10:33 am

Une notion d'info théorique, tu verras ça normalement en 1A/L3 dans une école qui enseigne l'info théorique.

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9cidabilit%C3%A9

En gros, pour faire simple, une question décidable est une question à laquelle on peut répondre "oui ou non". Par exemple "pour p donné, p est-il premier ?" est décidable. Par contre, "pour X un programme informatique, X va-t-il se terminer" est a priori indécidable.

(Je reste flou sur le sens précis des termes. En général on enseigne ça avec les machines de Turing.)

@Hibiscus : t'es sûr que c'est au programme de MPSI (ou même de prépa), la décidabilité ? Moi pas...
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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