Intersection d'hyperplans

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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protozik10012
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Intersection d'hyperplans

Message par protozik10012 » sam. sept. 15, 2018 2:04 am

salut, j'étais entrain de faire un exercice d'algèbre linéaire puis je me suis bloqué dans quelques pistes.
Voici l'exercice:

E est un espace vectoriel de dimension n sur K (n ∈ [[2, +∞[[).
Q1. Montrer que si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E : dim(F ∩ G) > dim F + dim G − n.
Q2. D´eterminer la dimension de l’intersection de deux hyperplans distincts de E.
Q3. Soient H1, H2, ..., Hr r hyperplans de E. Montrer que dim(H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hr) > n − r.
Q4. Montrer par récurrence que si p appartient `a [[1, n]] et si F est un sous-espace vectoriel de dimension n − p alors F est l’intersection de p hyperplans de E.

**Dans Q3 en faisant la récurrence sur k dans l'intervalle [[1,r-1]], je trouvais un problème pour comprendre cet inégalité , dim(H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hk+1) > dim(H1 ∩ H2 ∩ . . . ∩ Hk) + dim Hk+1 − n

**Pour Q4,j'ai pas eu une idée claire. :|

Pouvez-vous m'aidez svp? :D MERCI!

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oty20
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Re: Intersection d'hyperplans

Message par oty20 » sam. sept. 15, 2018 7:57 am

pour $ Q3) $ je vois cela , soit $ (f_{i})_{1\leq i \leq r} $ une suite de forme linéaire telle que : $ H_{i}=Ker(f_{i}) $
On pose :
$ A=\bigcap_{i=1}^{r}H_{i}=\bigcap_{i=1}^{r}Ker(f_{i}) $

Considérons l'application $ h: E \to \mathbb{R}^{r} \\
~~~~~x \to (f_{1}(x),....,f_{r}(x)) $


alors clairement $ h $ est linéaire , et on a $ Ker(h)=A $ on applique théorème du rang à $ h $ on a

$ dim(A)+rg(h)=n $ donc $ dim(A) \geq n-rg(h) \geq n-r $
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

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