Les dattes à Dattier

[btsix]

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On n'a même pas besoin de montrer que \( B = a \mathbb{Z} \). Il suffit de remarquer que \( 0 = a+b \in B \) juste après avoir montré que \( a \in B \) et \( b \in B \).

[Dattier]

@Btsix : oui

232 : élément neutre et associativité
Soit \( (E,*) \) un ensemble fini, stable par $*$, une loi de composition interne associative et commutative.
Est-ce que $E$ posséde forcément un élément neutre ?

233 : associativité et ordre totale
Montrer que $E$ posséde un ordre totale est équivalent à $E$ posséde une loi de composition interne associative et commutative $*$ tel que :
$\forall a,b \in E, a*b\in\{a,b\}$

[btsix]

232

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Non :
\( E = \{a, b\} \) avec \( a \neq b \) et \( \forall (x,y) \in E², x*y = a \).

[btsix]

$E$ posséde un ordre total

Je n'ai pas compris.

[Dattier]

232 : bravo

E posséde une relation d'ordre totale : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_total

[btsix]

C'est que je pensais (à tort) qu'on pouvait toujours munir E d'une relation d'ordre total.

[Nicolas Patrois]

La consigne n’est pas claire, on peut toujours munir un ensemble d’une relation d’ordre total.
En revanche, elle n’est pas nécessairement « intéressante », c’est-à-dire compatible avec la loi de composition interne.

[btsix]

L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire ?

[Dattier]

Non, l'idée est de construire un à partir de l'autre, et reciproquement. Etablir une "bijection" entre les 2.

[btsix]

@Nicolas Patrois
L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire pour ordonner totalement un ensemble dans le cas le plus général ?

[darklol]

@Nicolas Patrois
L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire pour ordonner totalement un ensemble dans le cas le plus général ?

Pas nécessaire non mais suffisant. Mais en toute généralité l’existence d’un ordre total sur tout ensemble est en effet indépendant de ZF (et est moins fort que l’axiome du choix).

[Nicolas Patrois]

L’ensemble de l’exercice est fini.

[Dattier]

Pour le 233, l'ensemble est quelconque.

[Nicolas Patrois]

Exact, j’ai mélangé les deux consignes.

[GaBuZoMeu]

Bah, c'est bien évident :
Si \( (E,\leq) \) est un ensemble totalement ordonné, alors \( (a,b)\mapsto \min(a,b) \) est une l.c.i. sur \( E \) vérifiant les propriétés, et réciproquement si \( \ast \) est une l.c.i. vérifiant les propriétés, alors la relation \( R \) définie par \( aRb \Leftrightarrow a\ast b= a \) est un ordre total.