Les dattes à Dattier

[btsix]

SPOILER:

On n'a même pas besoin de montrer que $ B = a \mathbb{Z} $. Il suffit de remarquer que $ 0 = a+b \in B $ juste après avoir montré que $ a \in B $ et $ b \in B $.

[Dattier]

@Btsix : oui

232 : élément neutre et associativité
Soit $ (E,*) $ un ensemble fini, stable par $*$, une loi de composition interne associative et commutative.
Est-ce que $E$ posséde forcément un élément neutre ?

233 : associativité et ordre totale
Montrer que $E$ posséde un ordre totale est équivalent à $E$ posséde une loi de composition interne associative et commutative $*$ tel que :
$\forall a,b \in E, a*b\in\{a,b\}$

[btsix]

232

SPOILER:

Non :
$ E = \{a, b\} $ avec $ a \neq b $ et $ \forall (x,y) \in E², x*y = a $.

[btsix]

$E$ posséde un ordre total

Je n'ai pas compris.

[Dattier]

232 : bravo

E posséde une relation d'ordre totale : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_total

[btsix]

C'est que je pensais (à tort) qu'on pouvait toujours munir E d'une relation d'ordre total.

[Nicolas Patrois]

La consigne n’est pas claire, on peut toujours munir un ensemble d’une relation d’ordre total.
En revanche, elle n’est pas nécessairement « intéressante », c’est-à-dire compatible avec la loi de composition interne.

[btsix]

L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire ?

[Dattier]

Non, l'idée est de construire un à partir de l'autre, et reciproquement. Etablir une "bijection" entre les 2.

[btsix]

@Nicolas Patrois
L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire pour ordonner totalement un ensemble dans le cas le plus général ?

[darklol]

@Nicolas Patrois
L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire pour ordonner totalement un ensemble dans le cas le plus général ?

Pas nécessaire non mais suffisant. Mais en toute généralité l’existence d’un ordre total sur tout ensemble est en effet indépendant de ZF (et est moins fort que l’axiome du choix).

[Nicolas Patrois]

L’ensemble de l’exercice est fini.

[Dattier]

Pour le 233, l'ensemble est quelconque.

[Nicolas Patrois]

Exact, j’ai mélangé les deux consignes.

[GaBuZoMeu]

Bah, c'est bien évident :
Si $ (E,\leq) $ est un ensemble totalement ordonné, alors $ (a,b)\mapsto \min(a,b) $ est une l.c.i. sur $ E $ vérifiant les propriétés, et réciproquement si $ \ast $ est une l.c.i. vérifiant les propriétés, alors la relation $ R $ définie par $ aRb \Leftrightarrow a\ast b= a $ est un ordre total.