Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Modérateurs : JeanN, Michel Quercia
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btsix
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par btsix » jeu. oct. 11, 2018 1:34 pm
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Dattier
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par Dattier » jeu. oct. 11, 2018 2:17 pm
@Btsix : oui
232 : élément neutre et associativité
Soit $ (E,*) $ un ensemble fini, stable par $*$, une loi de composition interne associative et commutative.
Est-ce que $E$ posséde forcément un élément neutre ?
233 : associativité et ordre totale
Montrer que $E$ posséde un ordre totale est équivalent à $E$ posséde une loi de composition interne associative et commutative $*$ tel que :
$\forall a,b \in E, a*b\in\{a,b\}$
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btsix
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par btsix » jeu. oct. 11, 2018 3:40 pm
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btsix
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par btsix » jeu. oct. 11, 2018 3:43 pm
Dattier a écrit : ↑jeu. oct. 11, 2018 2:17 pm
$E$ posséde un ordre total
Je n'ai pas compris.
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btsix
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par btsix » jeu. oct. 11, 2018 5:21 pm
C'est que je pensais (à tort) qu'on pouvait toujours munir E d'une relation d'ordre total.

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Nicolas Patrois
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par Nicolas Patrois » jeu. oct. 11, 2018 6:27 pm
La consigne n’est pas claire, on peut toujours munir un ensemble d’une relation d’ordre total.
En revanche, elle n’est pas nécessairement « intéressante », c’est-à-dire compatible avec la loi de composition interne.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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btsix
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par btsix » jeu. oct. 11, 2018 8:20 pm
L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire ?
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Dattier
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par Dattier » jeu. oct. 11, 2018 9:09 pm
Non, l'idée est de construire un à partir de l'autre, et reciproquement. Etablir une "bijection" entre les 2.
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btsix
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par btsix » ven. oct. 12, 2018 6:39 pm
@Nicolas Patrois
L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire pour ordonner totalement un ensemble dans le cas le plus général ?
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darklol
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par darklol » ven. oct. 12, 2018 7:19 pm
btsix a écrit : ↑ven. oct. 12, 2018 6:39 pm
@Nicolas Patrois
L'axiome du choix n'est-il pas nécessaire pour ordonner totalement un ensemble dans le cas le plus général ?
Pas nécessaire non mais suffisant. Mais en toute généralité l’existence d’un ordre total sur tout ensemble est en effet indépendant de ZF (et est moins fort que l’axiome du choix).
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Nicolas Patrois
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par Nicolas Patrois » ven. oct. 12, 2018 8:35 pm
L’ensemble de l’exercice est fini.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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Dattier
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par Dattier » ven. oct. 12, 2018 8:56 pm
Pour le 233, l'ensemble est quelconque.
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Nicolas Patrois
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par Nicolas Patrois » ven. oct. 12, 2018 9:31 pm
Exact, j’ai mélangé les deux consignes.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » ven. oct. 12, 2018 11:04 pm
Bah, c'est bien évident :
Si $ (E,\leq) $ est un ensemble totalement ordonné, alors $ (a,b)\mapsto \min(a,b) $ est une l.c.i. sur $ E $ vérifiant les propriétés, et réciproquement si $ \ast $ est une l.c.i. vérifiant les propriétés, alors la relation $ R $ définie par $ aRb \Leftrightarrow a\ast b= a $ est un ordre total.
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