Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

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Mosalahmoh
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Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par Mosalahmoh » lun. déc. 03, 2018 5:23 pm

Salut .Soit M élement de Mn(K).Je veux demontrer que (In,A,A^2,...,A^(n-1)) libre implique qu'il existe X de C^n tq (X,...,(A^(n-1))(X)) livre sans utiliser les polynome poctuelle .Merci

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saysws
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Re: Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par saysws » mar. déc. 04, 2018 12:21 pm

Raisonne par récurrence sur \( n \), en utilisant le fait que toute matrice admet un vecteur propre complexe et quitte à changer de base (ce qui laisse invariant les histoires de liberté), tu écris :
\( A= \begin{pmatrix}
\lambda & O \\
O & B
\end{pmatrix} \)
applique ton hypothèse de récurrence à B, ensuite il reste à rajouter une coordonnée au vecteur \( X \) que tu obtient de manière ce que ça marche, ça peut se faire en séparant les cas \( X,BX,...,B^n X \) encore libre, ou non (si jamais tu a une relation de dépendance tu n'en à qu'une !).

Normalement ça marche.
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JeanN
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Re: Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par JeanN » mar. déc. 04, 2018 1:29 pm

Je paye pour voir. Cet énoncé semble difficile avec des moyens élémentaires.
Je vois comment faire en démarrant une décomposition de Froebenius mais ça me parait aussi compliqué que d'utiliser des polynômes minimaux ponctuels.
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Siméon
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Re: Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par Siméon » mar. déc. 04, 2018 2:26 pm

Cher saysws, je pense que ce que tu proposes doit fonctionner pour une matrice diagonalisable. Mais dans le cas contraire, on n'est même pas assuré de pouvoir décomposer $A$ comme tu le fais.

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oty20
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Re: Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par oty20 » mar. déc. 04, 2018 3:50 pm

Bonjour, de mémoire il existe une preuve dans le livre de Roger Mansuy sur la réduction, qui ne passe pas par cela.

je la posterai dés que possible.
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saysws
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Re: Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par saysws » mar. déc. 04, 2018 11:57 pm

Siméon a écrit :
mar. déc. 04, 2018 2:26 pm
Cher saysws, je pense que ce que tu proposes doit fonctionner pour une matrice diagonalisable. Mais dans le cas contraire, on n'est même pas assuré de pouvoir décomposer $A$ comme tu le fais.
Effectivement, il y a un \( O \) en trop dans ma matrice, ce qui change tout :oops:
J'aurais pas du essayer de gribouiller un truc qui ressemblais à un début de preuve en 5min avant d'aller manger :lol:
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oty20
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Re: Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par oty20 » jeu. déc. 06, 2018 7:18 pm

Bonjour,
En faite si tu veux pas passer par le polynôme minimal, il faut construire \( X \) à l'image de la démonstration du résultat sur la relation entre polynôme minimal et polynôme minimal ponctuel , en effet parce que \( deg(u_{A})=rang(I,..,A^{n-1})=n \) donc le polynôme minimal est le polynôme caractéristique donc \( A \) est cyclique.


on raisonne avec les endomorphismes, soit \( f \in L(E) \) , bien-sur E ev de dim finie montrons qu'il existe \( x \in E \) tel que
\( u_{f}=u_{f,x} \)
Lemme : soit P dans K[X] , la suite \( (Ker P^{k}(f))_{k} \) est stationnaire est strictement croissante pour l'inclusion puis stationnaire.
Si de plus P est irréductible alors le polynôme minimal local de f en \( x \in Ker P^{k}(f) - Ker P^{k-1}(f) \) est \( P^{k} \)


Nous écrivons la décomposition en facteurs irréductibles de \( u_{f} \):

\( u_{f}=\Pi_{k=1}^{p} P_{k}^{m_{k}} \) , les \( P_{k} \) sont des polynômes irréductibles deux à deux distincts et les \( m_{k} \) entiers non nuls.

Le lemme des noyaux entraîne alors que \( E=ker u_{f}(f)=\bigoplus_{k=1}^{p} Ker P_{k}^{m_{k}}(f) \).

Construisons maintenant \( x \) , pour tout \( k \in [[1,p]] \) , choisissons \( x_{k} \in Ker P_{k}^{m_{k}} - Ker P_{k}^{m_{k}-1} \) ( qui existe d’après la croissance de la suite des noyaux itérés ) et \( x=x_{1}+x_{2}+..+x_{p} \in E \) et je te laisse vérifier que ce x convient en utilisant le lemme.

je t'ai trouvé deux sujets intéressants sur cette notion CNC 2001 Maths II http://www.mp-math.com/medias/files/cnc ... pitres.pdf , et CNC 2012 maths II http://www.marocprepa.com/site/pdf/anna ... 126m2e.pdf qui propose une démonstration avec le lemme des tiroirs dans la partie 3.

Bon courage, pour ceux qui veulent de bon sujet d’Algèbre linéaire d'entrainement je recommande les CNC maths 2 , Contenu mathématique bien présent et l’épreuve est super guider ce qui la rend facile , un très bon choix de sujet à faire juste après avoir fini le cours
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Re: Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par matmeca_mcf1 » jeu. déc. 06, 2018 7:45 pm

oty20, cette preuve est aussi dans ici http://math.univ-lille1.fr/%7Eserman/ag ... eCours.pdf Elle est utilisée pour démontrer la décmposition de Froebenius et les facteurs invariants (invariants de similitude).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Demontrer une propriété sans utiliser le polynome minimal ponctuelle

Message par oty20 » ven. déc. 07, 2018 11:01 am

Oui effectivement, je ne suis pas familier avec la décomposition de Frobenius par conséquent je n'avais pas fait le lien, merci beaucoup je comprends mieux maintenant la motivation derrière cette preuve.
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