fonction croissante convergente

[prepamath]

Pour répondre à la question initiale, on peut imaginer une fonction $ f $ de classe $ C^\infty $ telle que $ f $ soit nulle partout à part sur les $ [n, n+\frac 1 {n^3}] $ où elle fait des pics ($ C^\infty $) qui montent jusqu'à $ n $.

Pour construire les pics, inspire-toi de ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ ... rt_compact

Puisque $ f $ est de classe $ C^\infty $, positive, intégrable et non bornée, $ x\mapsto\int_0^xf(t)dt $ est un contre-exemple.

Merci !!!

[oty20]

il s'agit essentiellement d'un contre exemple d’intégrabilité vue en cours $ \lim_{x \to \infty} \int_{0}^{x} f'(t) dt = l \in \mathbb{R} \implies \lim_{x \to \infty} f'(x)=0~~ ? $

le contre exemple souvent donné ressemble à la construction qui vous a été proposé sauf que en prépas c'est plutôt des triangles qui sont utilisés, pour la rendre suffisamment ''smooth'' on remplace les triangles par des fonctions tests