Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
Bonsoir,
On peut montrer que si $ P_{n} $ une suite de fonctions polynomiales converge uniformément vers $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ alors f est une fonction polynôme. En effet : $ \exists N\in\mathbb{N} $ tq $ \forall n\geq N \forall x\in \mathbb{R} \left | P_{n}(x)-P_{N}(x) \right |\leq 1 $. Ainsi, $ P_{N}-P_{n} $ est une fonction polynôme bornée donc constante. Par passage à la limite on voit que f est une fonction polynomiale. Mais cela, montre que l'ensemble des fonctions polynomiales ( R[X] identifié à C°(R,R)) est fermé alors que c'est absurde par le théorème de Weierstrass ?.. J'aimerais savoir l'erreur dans mon raisonnement ..
Merci
On peut montrer que si $ P_{n} $ une suite de fonctions polynomiales converge uniformément vers $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ alors f est une fonction polynôme. En effet : $ \exists N\in\mathbb{N} $ tq $ \forall n\geq N \forall x\in \mathbb{R} \left | P_{n}(x)-P_{N}(x) \right |\leq 1 $. Ainsi, $ P_{N}-P_{n} $ est une fonction polynôme bornée donc constante. Par passage à la limite on voit que f est une fonction polynomiale. Mais cela, montre que l'ensemble des fonctions polynomiales ( R[X] identifié à C°(R,R)) est fermé alors que c'est absurde par le théorème de Weierstrass ?.. J'aimerais savoir l'erreur dans mon raisonnement ..
Merci
Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
J'ai pas l'impression que le théorème de Weierstrass parle de fonctions définies sur $ \mathbb R $ tout entier
X2018
Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
Non car sur un segment toute fonction polynomiale est bornée car continue (et donc une fonction polynomiale bornée sur un segment n'est pas nécessairement constante).
D'ailleurs pour ta démo c'est légèrement plus compliqué qu'un simple passage à la limite dans la dernière étape :
Edit : ah bah t'as edit, le non c'est pour est-ce que la démo marche sur un segment
D'ailleurs pour ta démo c'est légèrement plus compliqué qu'un simple passage à la limite dans la dernière étape :
SPOILER:
Dernière modification par Luckyos le 19 févr. 2019 02:22, modifié 1 fois.
X2018
Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
Oui j'ai edit parce que je me suis rendu compte que c'était faux.
Et oui c'est à cette démo que j'ai pensé! Mercii
Et oui c'est à cette démo que j'ai pensé! Mercii
Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
Surtout, ça serait pas mal de souligner qu’en prépa on ne parle d’ensembles fermés ou ouverts qu’en présence d’une structure d’espace vectoriel normé. Tu connais une norme sur C(R,R)? Moi pas.
(Bon en vrai j’en connais plein mais elles sont tordues).
(Bon en vrai j’en connais plein mais elles sont tordues).
ENS Lyon
Ingénieur de recherche
Ingénieur de recherche
Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
Bah on sait que tout ev admet une base, donc on peut dire qu'il admet au moins une norme et donc il est normé, d'où la notion de fermeture si je ne m'abuse.
Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
N'oublie pas qu'en dimension quelconque les normes ne sont pas équivalentes. Notamment si tu munis C(R,R) d'une norme quelconque tu n'as aucune certitude que la convergence uniforme soit équivalente à la convergence en norme.
2016-2018 : MPSI/MP*
2018-... : dept maths ENS de Lyon
2018-... : dept maths ENS de Lyon
Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
Et puis une base de C(R,R), il faut aller la chercher.
Pour compléter les dires de 789, sans même s’interroger sur l’existence d’une norme quelconque, il est très facile de montrer qu’il n’existe pas de norme sur C(R,R) telle que la convergence pour cette norme soit équivalente à la convergence uniforme. Donc non, dire que « R[X] est fermé dans C(R,R) » n’a pas de sens niveau prépa.
Pour compléter les dires de 789, sans même s’interroger sur l’existence d’une norme quelconque, il est très facile de montrer qu’il n’existe pas de norme sur C(R,R) telle que la convergence pour cette norme soit équivalente à la convergence uniforme. Donc non, dire que « R[X] est fermé dans C(R,R) » n’a pas de sens niveau prépa.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé
Ahaha c'est vrai .
Mmm oui je vois ... autant pour moi!darklol a écrit : ↑19 févr. 2019 18:05Pour compléter les dires de 789, sans même s’interroger sur l’existence d’une norme quelconque, il est très facile de montrer qu’il n’existe pas de norme sur C(R,R) telle que la convergence pour cette norme soit équivalente à la convergence uniforme. Donc non, dire que « R[X] est fermé dans C(R,R) » n’a pas de sens niveau prépa.