Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

donnerwetter
Messages : 221
Enregistré le : sam. mars 12, 2016 6:59 pm
Classe : MP*

Re: Exos sympas MP(*)

Message par donnerwetter » dim. avr. 28, 2019 3:39 pm

kakille a écrit :
dim. avr. 28, 2019 1:41 pm
Bonjour donnerwetter,

merci pour cette réponse. C'est un peu trop elliptique à mon goût (la définition de $x$, qui est l'objet crucial dans ton raisonnement, pourrait-elle être précisée ?).
Désolé je ne suis plus en prépa et j'ai un peu perdu la patte au niveau de la rédaction, je n'ai pas développé les points qui me paraissaient évidents (par souci de concision aussi)...
x = sup{t>0, f'(u)<0 sur ]0,t[} donc l'existence est garantie par le fait que a>f>0 sur un voisinage de 0 donc sin(f)>0 sur ce voisinage et donc f' y est strictement négative.

V@J
Messages : 2859
Enregistré le : jeu. janv. 22, 2009 6:15 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » dim. mai 05, 2019 9:42 am

Mathoss a écrit :
lun. avr. 22, 2019 6:26 pm
J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).
Image
En tout cas, la question b) est incorrecte, puisque, pour n=1, notre fonction n'aura jamais plus de deux zéros, et qu'elle n'en aura aucun si $ X_0 > X_1 > 0 $.

Avatar du membre
oty20
Messages : 782
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » dim. mai 05, 2019 6:40 pm

L' énoncé est tiré d’où ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

matmeca_mcf1
Messages : 1507
Enregistré le : mar. févr. 13, 2018 10:22 am

Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » dim. mai 05, 2019 11:03 pm

V@J a écrit :
dim. mai 05, 2019 9:42 am
Mathoss a écrit :
lun. avr. 22, 2019 6:26 pm
J'ai un énoncé qui me tourmente... Si vous pouviez me soumettre une solution
Je n'arrive pas à mettre en évidence un couplage quelconque entre P et P tilde alors qu'il y en a bien un puisque, à priori, P a au plus 2n-1 zéros sur [0,2pi[ et cette borne est optimale avec (t->cos(nt)).
Image
En tout cas, la question b) est incorrecte, puisque, pour n=1, notre fonction n'aura jamais plus de deux zéros, et qu'elle n'en aura aucun si $ X_0 > X_1 > 0 $.
C'est exact. En 1b, le résultat demandé devrait être que l'espérance est inférieure ou égale à $ n $. Et il faudrait probablement rajouter en hypothèse que $ (X_n,\ldots,X_1) $ est de même loi que $ (X_1,\ldots,X_n) $. Le fait que les $ X_i $ aient la même loi ne suffit pas (ou alors il faut rajouter l'hypothèse que les$ X_i $ sont des variables indépendantes).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

AhmedNasredinne
Messages : 10
Enregistré le : jeu. avr. 18, 2019 7:59 pm
Classe : MP*

Point fixe

Message par AhmedNasredinne » mar. mai 21, 2019 6:52 pm

Bonjour,

Voici un n eme exercice sur une histoire de point fixe :D

Soit f une application de K dans K, ( K compacte d’un Ev norme de dimension finie) qui vérifie $ \exists k \in ]0,\frac{1}{2}[, \forall (x,y) \in K^2, ||f(x)-f(y)|| \leq k(||f(x)-x|| + ||f(y)-y ||) $
On se donne $ x_{0} \in K $ et on pose $ x_{n+1} = f(x_{n}) $
Montré que la suite $ (x_n) $ converge puis que f admet un et un seul point fixe

Bon courage à tous.

Indice :
SPOILER:
On pourra montre que $ \forall n \in \mathbb{N} ||x_{n+1} - x_{n}|| \leq (\frac{k}{1-k})^n||x_{1}-x_{0}|| $
Pas d’aide par MP

btsix
Messages : 94
Enregistré le : lun. mai 15, 2017 9:23 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » mar. mai 21, 2019 9:59 pm

Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?

Errys
Messages : 307
Enregistré le : mer. oct. 04, 2017 3:58 pm
Classe : MP

Re: Point fixe

Message par Errys » mar. mai 21, 2019 11:12 pm

SPOILER:
Sinon pour prouver le résultat dans l'indication une récurence suffit. Étant clairement vrai pour n = 0 on peut supposer qu'il est vrai pour n. et on a alors avec x = x_n+1 et y= x_n :
$ | x_{n+2} - x_{n+1}| \le k(|x_{n+2} - x_{n+1}| + |x_{n+1}-x_n|) $
D'où $ |x_{n+2} - x_{n+1}|\le \dfrac{k}{1-k} |x_{n+1} - x_n| $
Et l'hypothèse de récurence conclut.
Ensuite il reste à montrer que la suite est de Cauchy pour conclure, car K est compact.
Pour montrer qu'elle est de Cauchy, on remarque que 0 < k/(1-k) < 1 donc la série des k/(1-k) est convergente donc de Cauchy. Ainsi si on prend eps > 0 et N dans la définition de suite de cauchy de la série, alors si p> q > N on a le résultat voulu en appliquant l'inégalité triangulaire sur $ |x_p - x_q| = |\sum_{i=q}^{p-1} x_{i+1} - x_i| $. Notons a sa limite (qui est clairement un point fixe !)

Pour ce qui est de l'unicité du point fixe, si on prend un point fixe b, alors en prenant y = b et x = x_n on a $ |x_{n+1} - b| \le k|x_{n+1} - x_n| $
Mais le RHS converge vers 0 donc le LHS aussi. Ainsi a = b car le LHS converge vers $ |a-b|=0 $
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2018
LLG MP*3 2019-2020

Nabuco
Messages : 663
Enregistré le : dim. sept. 17, 2017 10:09 pm

Re: Point fixe

Message par Nabuco » mar. mai 21, 2019 11:25 pm

Errys a écrit :
mar. mai 21, 2019 11:12 pm
Pourquoi ne pas mettre ce fil dans les exos sympas MP* ?
SPOILER:
Sinon pour prouver le résultat dans l'indication une récurence suffit. Étant clairement vrai pour n = 0 on peut supposer qu'il est vrai pour n. et on a alors avec x = x_n+1 et y= x_n :
$ | x_{n+2} - x_{n+1}| \le k(|x_{n+2} - x_{n+1}| + |x_{n+1}-x_n|) $
D'où $ |x_{n+2} - x_{n+1}|\le \dfrac{k}{1-k} |x_{n+1} - x_n| $
Et l'hypothèse de récurence conclut.
Ensuite il reste à montrer que la suite est de Cauchy pour conclure, car K est compact.
Pour montrer qu'elle est de Cauchy, on remarque que 0 < k/(1-k) < 1 donc la série des k/(1-k) est convergente donc de Cauchy. Ainsi si on prend eps > 0 et N dans la définition de suite de cauchy de la série, alors si p> q > N on a le résultat voulu en appliquant l'inégalité triangulaire sur $ |x_p - x_q| = |\sum_{i=q}^{p-1} x_{i+1} - x_i| $. Notons a sa limite (qui est clairement un point fixe !)

Pour ce qui est de l'unicité du point fixe, si on prend un point fixe b, alors en prenant y = b et x = x_n on a $ |x_{n+1} - b| \le k|x_{n+1} - x_n| $
Mais le RHS converge vers 0 donc le LHS aussi. Ainsi a = b car le LHS converge vers $ |a-b|=0 $
La fonction f n'est pas spécifiée continue donc je ne vois pas pourquoi c'est clairement un point fixe.
Après c'est pas impossible que f soit supposée continue et que cela n'ait pas été précisée.

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1179
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mer. mai 22, 2019 1:03 am

Effectivement une telle fonction n'est pas forcément continue prendre :
$f$ fonction de $[0,1]$ dans les réels, tel que : $f(x)=0$ si $x \in [0,1[$ et $f(1)=1/20$

Alors $f$ vérifie l'inégalité ($k=1/3$) sans être continue, je n'arrive pas à trouver de fonction vérifiant l'inégalité et sans point fixe.

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1179
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mer. mai 22, 2019 3:07 am

Je pense que l'on a pas besoin de la continuité :
SPOILER:
Soit $a$ le point tel que $(f^n)_n$ converge simplement vers la fonction constante égale à $a$.
$$||f(a)-a||-||f^{p+1}(a)-a||\leq ||f^{p+1}(a)-f(a)||\leq k(||f^{p+1}(a)-f^p(a)||+||f(a)-a||)$$
donc
$$ (1-k)||f(a)-a|| \leq ||f^{p+1}(a)-a||+k||f^{p+1}(a)-f^p(a)||$$
En faisant tendre $p$ vers l'infini on obtient $f(a)=a$

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1179
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mer. mai 22, 2019 3:36 am

btsix a écrit :
mar. mai 21, 2019 9:59 pm
Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?
SPOILER:
Prendre $a=2$ et $b=-2$ alors $P'>0$ donc $P$ strictement croissante d'où $P$ avec une seule racine réel d'ordre 1, donc non scindé dans $\mathbb R$

btsix
Messages : 94
Enregistré le : lun. mai 15, 2017 9:23 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » mer. mai 22, 2019 9:47 am

Dattier a écrit :
mer. mai 22, 2019 3:36 am
btsix a écrit :
mar. mai 21, 2019 9:59 pm
Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?
SPOILER:
Prendre $a=2$ et $b=-2$ alors $P'>0$ donc $P$ strictement croissante d'où $P$ avec une seule racine réel d'ordre 1, donc non scindé dans $\mathbb R$
SPOILER:
Comment tu trouves $P'>0$ ?

Avatar du membre
Dattier
Messages : 1179
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Dattier » mer. mai 22, 2019 11:42 am

Je me suis trompé.
SPOILER:
$P'(x)=3x^2+2(a-b)x-(1+ab)$
donc on a 2 racines dans $\mathbb R$

$x_1=\dfrac{1}{3}(-a+b- \sqrt{a^2+ab+b^2+3})$

$x_2=\dfrac{1}{3}(-a+b+ \sqrt{a^2+ab+b^2+3})$

Il suffit de montrer que $P(x_1)\geq 0$, $P(x_2)\leq 0$
ce qui n'a pas l'air simple à prouver, si je trouve une chemin plus rapide je le publierais.

btsix
Messages : 94
Enregistré le : lun. mai 15, 2017 9:23 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par btsix » mer. mai 22, 2019 11:58 am

Il existe effectivement une solution courte.

Indication 1
SPOILER:
La réponse est toujours oui.

Indication 2
SPOILER:
Ne pas chercher à exhiber une racine. (Je ne sais même pas s'il en existe une qui s'exprime simplement.)

V@J
Messages : 2859
Enregistré le : jeu. janv. 22, 2009 6:15 pm

Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » mer. mai 29, 2019 9:31 am

btsix a écrit :
mar. mai 21, 2019 9:59 pm
Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?
Ce problème est mignon...
SPOILER:
Il suffit de calculer $ P(-a) $ et $ P(b) $ et de discuter selon le signe de $ a+b $

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 13 invités