Les maths pures sont-ils seulement un jeu intellectuel ?

[Mocassins]

Je pense que la plupart des personnes ont été passionnées par les mathématiques ont eu par moments des impressions (éventuellement lointaines) de leur importance et de leur étendue, balayant plus ou moins leur aspect de jeu intellectuel. (je spécule)
De là à affirmer que les mathématiques consistent à comprendre le sens profond abstrait derrière les choses; il faut modérer. Les mathématiques évoluent et devraient continuer à évoluer; une constante est l'importance de la démonstration, d'où l'idée de jeu ou épreuve intellectuel(le). (ce sont des façons "raisonnables" de concevoir une démonstration)

Malgré cela, la position de joueur est au pire irresponsable. Il est risqué d'avoir une confiance aveugle en son propre plaisir, puisque c'est à peu près en être dépendant.

J'ai du mal à comprendre hornet pourquoi tu insistes sur une opposition implicite/explicite de cette forme. Ce qui ne décrit rien de particulier, à l'extrême, ne décrit rien, et n'importe quelle branche des mathématiques explicite ses objets autant qu'il le faut pour pouvoir en dire plus que rien. Associer abstraction et "sens" c'est croire que notre façon de voir les choses nous fournit une mathématique partout fertile; ce qui est contestable.

[hornet]

Je pense que la plupart des personnes ont été passionnées par les mathématiques ont eu par moments des impressions (éventuellement lointaines) de leur importance et de leur étendue, balayant plus ou moins leur aspect de jeu intellectuel. (je spécule)
De là à affirmer que les mathématiques consistent à comprendre le sens profond abstrait derrière les choses; il faut modérer. Les mathématiques évoluent et devraient continuer à évoluer; une constante est l'importance de la démonstration, d'où l'idée de jeu ou épreuve intellectuel(le). (ce sont des façons "raisonnables" de concevoir une démonstration)

A ceci près que ce "jeu" n'existe que parce qu'un humain assez intelligent et avec une assez bonne intuition a réussi à définir un système axiomatique (axiomes, règles d'inférences, langage) qui soit (l'espère t-on) cohérent et qui ne décrit pas rien. Il n'y a pas de preuves sans théorie axiomatique, et il n'y a pas de théorie axiomatique sans choix. Croire que les preuves qui en découlent se résument à brute force les séquents comme un jeu de légo, c'est oublier bien vite que ces choix a priori abitraires ne le sont en réalité pas. Ces derniers sont interprétables (et donc ont du sens), et il va s'en dire que les preuves intéressantes sont justement celles qui sont également interprétables.

J'ai du mal à comprendre hornet pourquoi tu insistes sur une opposition implicite/explicite de cette forme. Ce qui ne décrit rien de particulier, à l'extrême, ne décrit rien, et n'importe quelle branche des mathématiques explicite ses objets autant qu'il le faut pour pouvoir en dire plus que rien.

Ce qui ne décrit rien en particulier, décrit en réalité tout. Pense à l'exemple simple de "Soit A un ensemble". Qui est A ? Personne, ou potentiellement tout le monde ? :}

Associer abstraction et "sens" c'est croire que notre façon de voir les choses nous fournit une mathématique partout fertile; ce qui est contestable.

Ce n'est pas parce qu'il existe des interprétations des objets explicitement constructibles, que toutes les interprétations se valent. Pour citer Girard, il n'y a pas de réponses sans question. J'ajoute que toutes les réponses à ces questions ne se valent pas. C'est d'ailleurs toute la différence entre un mathématicien d'exception comme Grothendieck, qui théorise et est capable de cerner le sens profond des objets qu'il étudie (c'est à dire d'en trouver la bonne interprétation qui répond à sa question), avec un mathématicien qui théorise du vide. Théoriser du vide, c'est construire des théories qui ne permettent pas de comprendre les (ou des) objets et faits mathématiques que sa théorie est censée décrire. Une bonne théorie est par conséquent une théorie qui répond à une question fondamentale (au sens de au fondement, et également d'universel, sans arbitraire) et profonde, et qui de plus, y répond d'une manière satisfaisante : elle s'applique à toute une classe d'objets et permet d'expliquer les propriétés communes de ces objets d'une manière élégante tout en leur donnant du sens. Est-ce un hasard si un théorème bien compris admet une démonstration courte et élégante ? Peut-on dire qu'on a compris le théorème de Hahn-Banach lorsqu'on le démontre à l'aide d'un assistant de preuves, et ce, directement à partir des axiomes ?

Les mathématiques sont donc, j'insiste, la discipline qui cherche à comprendre des faits et objets mathématiques fondamentaux (au sens ci-dessus). Qui dit comprendre, dit élaboration de théories pour lesquelles il n'y a bien évidemment pas d'égalitarisme. Les mathématiciens qui théorisent ont eux aussi le droit d'être mauvais et de ne faire que de la branlette intellectuelle. Celui qui ne théorise pas est quant à lui borné à ne jamais rien expliquer.