Exercices de MPSI

[Meijnir]

SPOILER:

1)Comme$ [a_{n+1} , b_{n+1}]\subset[a_n , b_n] $,on en déduit que$ (a_n) $ est croissante et $ (b_n) $ est décroissante .On a de plus$ b_n-a_n \to 0 $ donc $ (a_n) $ et $ (b_n) $ sont adjacentes donc $ (a_n) $et $ (b_n) $ converge une même limite $ \xi $.
De plus,comme $ [a_{n+1} , b_{n+1}]\subset[a_n , b_n] $ alors $ [a_{n+1} , b_{n+1}] \cap [a_{n} , b_{n}]= [a_{n} , b_{n}] $,on en déduit donc par récurrence $ \bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n , b_n] = {\xi} $

Pour la 2),je ne vois pas trop car on ne connait pas le bornes de $ x_n $

Pour la question 3,c'est bien ($ x_{n_k}) $ qui doit converger?

[KGD]

SPOILER:

1) J'imagine que tu voulais dire $ [a_{n+1},b_{n+1}]\cap[a_n,b_n] = [a_{n+1}, b_{n+1}] $ mais c'est une coquille
Par contre, tu n'as pas fait apparaitre l'argument essentiel qui permet de montrer par récurrence que $ \displaystyle \xi \in \bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n] $ (c'est très simple, mais il faut le dire) et ça ne suffit pas pour montrer l'égalité $ \displaystyle \{\xi\} = \bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n] $ (ça ne donne qu'une inclusion)
2) Fais un dessin pour commencer

Pour la 3, c'est bien $ (u_{n_k}) $ qui doit converger oui

[Cyp]

Pour la 2), tu peux fixer les bornes de la suite si tu le souhaites, ça n'a pas d'importance.
Je suis pas très à l'aise avec le latex, donc sur l'énoncé les accolades présentes autour du xi n'était pas affichées, j'ai édité pour qu'elles le soient : il s'agit bien d'une égalité entre ensembles.

[Meijnir]

SPOILER:

1) J'imagine que tu voulais dire $ [a_{n+1},b_{n+1}]\cap[a_n,b_n] = [a_{n+1}, b_{n+1}] $ mais c'est une coquille
Par contre, tu n'as pas fait apparaitre l'argument essentiel qui permet de montrer par récurrence que $ \displaystyle \xi \in \bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n] $ (c'est très simple, mais il faut le dire) et ça ne suffit pas pour montrer l'égalité $ \displaystyle \{\xi\} = \bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n] $ (ça ne donne qu'une inclusion)
2) Fais un dessin pour commencer

Pour la 3, c'est bien $ (u_{n_k}) $ qui doit converger oui

1) Oui pour la coquille
L'argument c'est bien que comme $ (a_n) $ est croissante et $ (b_n) $ est décroissante alors $ a_0 \leq \xi \leq b_0 $
et pour l'égalité c'est que$ [a_n;b_n]=\{\xi\} $ lorsque $ n\to+\infty $
2) Pour le 2,est ce que $ (a_n) $ et $ (b_n) $ doivent converger vers la même limite?
3)Donc c'est pas $ (x_{n_k}) $

[Cyp]

1) C'est bien l'intuition qui est derrière le théorème. Pour montrer une égalité entre deux ensembles, on procède souvent par double inclusion : $ A=B \leftrightarrow [A\subset B $ et $ B\subset A] $. Tu as montré que :
$ \displaystyle \xi \in \bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n] $ c'est-à-dire que $ \displaystyle \left\{ \xi \right\} \subset \bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n] $. Il faudrait donc, pour être parfaitement rigoureux, montrer l'autre inclusion, c'est-à-dire que :
$ \displaystyle \forall x \in\bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n], x = \xi $
Ne te formalise pas sur cette question, ce type de méthode sera vu en prépa.

Voici une méthode pour l'inclusion réciproque :

SPOILER:

Si on part de la première inclusion démontrée ci-dessus, on sait que $ \displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n] $ est non-vide. Soit $ x $ un élément de cet ensemble.
Par définition, on a : $ \forall n \in \mathbb{N}, a_n \le x \le b_n $. D'où, en passant à la limite, $ \xi \le x \le \xi $ soit finalement $ x = \xi $. D'où l'inclusion réciproque, et, finalement, l'égalité.

2) Qu'en penses-tu ?
3) C'est bien $ (x_{n_k}) $ qui converge. La suite $ (x_n) $ est juste bornée : elle converge peut-être, on ne le sait pas.

[muscovado]

Je tente pour la 2)

On pose $ a_1 = \inf(x_n) $ $ b_1 = \sup (x_n) $
Une infinité de $ x_k $ sera soit dans l'intervalle $ [ a_1 ; \frac{a_1 + b_1}{2} ] $ soit dans l'intervalle $ [\frac{a_1 + b_1}{2} ; b_1] $ soit dans les deux. Selon ces cas, on pose $ a_2 $ ou $ b_2 $ $ = \frac{a_1 + b_1}{2} $. Ainsi pour respecter la longueur, $ b_2 (resp. a_2) = b_1 (resp. a_1) $. Et ainsi de suite...

La longueur de l'intervalle sera à chaque fois divisée par 2 et $ [a_{n+1} ; b_{n+1}] $ inclus dans $ [a_{n} ; b_{n}] $

[Cyp]

C'est ça !

[Meijnir]

@Cyp Merci pour la méthode

Je tente pour la 2)

On pose $ a_1 = \inf(x_n) $ $ b_1 = \sup (x_n) $
Une infinité de $ x_k $ sera soit dans l'intervalle $ [ a_1 ; \frac{a_1 + b_1}{2} ] $ soit dans l'intervalle $ [\frac{a_1 + b_1}{2} ; b_1] $ soit dans les deux. Selon ces cas, on pose $ a_2 $ ou $ b_2 $ $ = \frac{a_1 + b_1}{2} $. Ainsi pour respecter la longueur, $ b_2 (resp. a_2) = b_1 (resp. a_1) $. Et ainsi de suite...

La longueur de l'intervalle sera à chaque fois divisée par 2 et $ [a_{n+1} ; b_{n+1}] $ inclus dans $ [a_{n} ; b_{n}] $

Mais est ce que lorsque $ n \to \infty $,il y a toujours une infinité de $ x_n $ dans $ [a_n,b_n] $?

[muscovado]

De la manière dont on les a construits, je crois que oui. Enfin ça reste à confirmer

[ingens]

Tu sais que tous les termes de la suite sont compris entre $ a_1 $ et $ b1 $. En d'autres termes :

$ \displaystyle\lbrace x_n , n \in \mathbb{N}\rbrace} \subset [a_1,b_1] $.

Par ailleurs, tu peux effectivement dire que $ [a_1, \dfrac{a_1 + b_1}{2}] $ ou $ [\dfrac{a_1 + b_1}{2}, b_1] $ contient une infinité de terme de la suite car si ce n'était pas le cas leur réunion contiendrait un nombre fini de termes de la suite ce qui est impossible.

Tu conclus par récurrence.