Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Bonjour,

simplifiez $ 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}}}}}}} $. Même question avec un nombre quelconque de traits de fraction.

[Magnéthorax]

Bonjour,

démontrez que pour tout entier naturel $ n $ supérieur ou égal à $ 2 $, on a : $ 0\leq\frac{1}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq \frac{4}{n}. $

[Ckronikks]

Soit f:R->R , continue sur R et f(0)=1
Pour tout x appartenant à R: f(2x)=f(x)*cos(x)
Determiner f

[Leo11]

Pour la moyenne harmonique, on peut aboutir sans recurrence en calculant Un grace a une somme telescopique

[Leo11]

je rajoute une question intermediaire pour l'exo de Chronniks :
Calculer le produit des cos (x/2^k)

[Magnéthorax]

Pour la moyenne harmonique, on peut aboutir sans recurrence en calculant Un grace a une somme telescopique

Sur quoi repose la simplification d'une somme télescopique ?

[SigmaPi]

Salut ! Alors moi je suis en 1ère S (enfin je passe en Terminale), mais j'habite au Sénégal, et notre prof est plutôt... spécial on va dire. Donc j'ai déja appris déjà pas mal de trucs parmi les choses que je peux lire ici.
Concernant l'exo de Magnéthorax...

bah si il faut rediger une recurrence c'est un exercice de redaction, mais c'est par cette recurrence que la somme est definie dans mon cours et en fait je vois pas comment la definir autrement

Pour démontrer que pour tout entier naturel non nul on a : $ \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ , on pourrait partir par une sommation en cascade (je sais pas si ça se dit en France) et éviter la récurrence. Je ne sais pas trop si c'est rigoureux par rapport à l'énoncé :

SPOILER:

$ u_{n+1}= u_{n} + \frac{1}{n+1} $

$ u_{n+1} - u_{n} = \frac{1}{n+1} $

$ \sum_{k=0}^{n} u_{k+1} - u_{k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} $

=> $ u_{n+1}-u_{0] = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} $

=> $ u_{n+1}= \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} $

[Oka]

@SigmaPi : si la somme est bien definie par recurrence alors en fait tu cache la recurrence dans la sommation non ?

[SigmaPi]

Je ne comprends pas trop de quoi tu veux parler.
Nous avons défini la somme $ \sum_{k=0}^{n}{U_{k}} $ comme étant égal à $ ({U_{1}+{U_{2}+{U_{3}+...+{U_{n-1}+{U_{n}) $, pas par récurrence. C'est plutôt barbare en effet, mais on a réussi à démontrer toutes les propriétés relatifs à ce symbole grâce cette définition (d'une manière barbare aussi certes).

[Oka]

mais dans ce cas comment tu definis les points de suspension ?
pour moi c'est une ellipse du style "et ainsi de suite par recurrence"