Yoki a écrit :Ce ne sont pas des sommes à deux variables, mais à deux indices (sisi, il y a une nuance non négligable ).
C'est ce qu'on appelle des sommes doubles, et c'est grosso modo la même chose que les sommes simples, il faut juste manipuler les indices correctement (google pour "plus" d'infos).
Ok merci Je pensais que les sommes doubles c'était avec deux sigmas collés ^^ (fin peut-être qu'on peut écrire des sommes avec deux INDICES avec deux sigmas à un indice ?
Je vais faire des recherches...
Je précise que c'est un calcul pour lequel JeanN nous avait beaucoup guidé, en fait c'est sa résolution, je sais plus où exactement dans le topic des exos sympas lycées. Je poste parce que je trouve cette résolution vraiment jolie, mais il y en a une autre avec division euclidienne, de mémoire...
SPOILER:
$ E(x+\frac{k}{n}) $ ne peut prendre que deux valeurs : $ E(x) $ et $ E(x)+1 $
Dénombrons le nombre de valeurs de k pour lesquelles $ E(x+\frac{k}{n})=E(x) $
Cela revient à $ E(x+\frac{k}{n})<E(x)+1 $
Soit $ x+\frac{k}{n} < E(x) + 1 $
Donc $ E(nx) < nE(x) + n - k $
D'où $ k < nE(x) - E(nx) + n $
Ainsi, $ E(x+\frac{k}{n})=E(x) $ pour $ nE(x) - E(nx) + n $ valeurs de k.
Donc $ \sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})= $$ (nE(x) - E(nx) + n)E(x)+(E(nx)-nE(x))(E(x)+1) $
Un autre exo d'analyse extrait du poly de LLG (niveau difficile).
Les spoilers étaient des sous-questions FOURNIES dans le poly, donc il est normal d'avoir besoin de les regarder, je les mets en spoiler pour ceux qui veulent tenter sans regarder (fin perso j"ai direct regardé )
Déterminer les fonctions f de R dans R deux fois dérivables sur R et telles que : $ \forall(x,y) \in R^2, f(x + y) + f(x-y) = 2(f(x) + f(y)). $
Sous-question 1 :
SPOILER:
f est une fonction solution. Calculer f(0). Montrer que f est paire.
Sous question 2 :
SPOILER:
f est une fonction solution. Montrer que $ f'' $ est constante. Conclure.
Dernière modification par mathophilie le 05 janv. 2016 22:17, modifié 2 fois.
mathophilie a écrit :Un exo extrait du poly de LLG :
Trouver les fonctions f de $ \mathbb{R}^{+*} $ dans R dérivables et telles que $ \forall(x,y)\in \mathbb{R}^{+*}, $ $ f(xy) = f(x) + f(y) $ .
Houlas exo un peu délicat sans indication , on reconnait toutefois directement la propriété principale de la fonction logarithme.
Je ne sais pas si c'est la seule, mais il y a une manière un peu guidée de le resoudre en cherchant d'abord la dérivée de f.
ça a été posté (et résolu ? ) il y a quelques mois ici http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=56992
En primitivant on retrouve les fonctions proportionnelles à ln
Il doit peut être exister d'autres méthodes plus élégantes de le traiter.
mathophilie a écrit :Un exo extrait du poly de LLG :
Trouver les fonctions f de $ \mathbb{R}^{+*} $ dans R dérivables et telles que $ \forall(x,y)\in \mathbb{R}^{+*}, $ $ f(xy) = f(x) + f(y) $ .
Houlas exo un peu délicat sans indication , on reconnait toutefois directement la propriété principale de la fonction logarithme.
Je ne sais pas si c'est la seule, mais il y a une manière un peu guidée de le resoudre en cherchant d'abord la dérivée de f.
ça a été posté (et résolu ? ) il y a quelques mois ici http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=56992
En primitivant on retrouve les fonctions proportionnelles à ln
Il doit peut être exister d'autres méthodes plus élégantes de le traiter.
Je trouve pas... Il n'y avait pas de questions subsiliaires sur le poly de LLG... Mais c'était niveau difficile. (de mémoire) Le second que j'ai posté m'a beaucoup plus fait buggé même avec les questions subsiliaires
Effectivement, connaître la fonction logarithme, ca te guide (beaucoup) dans la résolution ^^
En fait pour ce genre d'exo, c'est une méthode d'analyse synthèse, et dans l'analyse, tu as souvent à
SPOILER:
-Remplacer x ou y par des valeurs intéressantes, type 0 / 1 / x / y / 1/x / 1/y etc... pour aboutir à des égalités intéressantes, ou démo que la fonction est paire / impaire, ...
- Dériver une fois ou deux si cela t'est permis en fixant une variable.
En général, après avoir bien ramé avec tout ça, ca marche... Fin, je pense qu'en prépa, ca marchera moins mais c'est pas grave
Yoki a écrit :Ce ne sont pas des sommes à deux variables, mais à deux indices (sisi, il y a une nuance non négligable ).
C'est ce qu'on appelle des sommes doubles, et c'est grosso modo la même chose que les sommes simples, il faut juste manipuler les indices correctement (google pour "plus" d'infos).
Ok merci Je pensais que les sommes doubles c'était avec deux sigmas collés ^^ (fin peut-être qu'on peut écrire des sommes avec deux INDICES avec deux sigmas à un indice ?
Je vais faire des recherches...
On peut effectivement écrire les sommes doubles de plusieurs façons: avec deux sigmas, avec deux indices...
Je t'invite à aller voir cette page wiki pour la définition (pas bien difficile cela dit ).
wallissen a écrit :
mathophilie a écrit :Un exo extrait du poly de LLG :
Trouver les fonctions f de $ \mathbb{R}^{+*} $ dans R dérivables et telles que $ \forall(x,y)\in \mathbb{R}^{+*}, $ $ f(xy) = f(x) + f(y) $ .
Houlas exo un peu délicat sans indication , on reconnait toutefois directement la propriété principale de la fonction logarithme.
Je dirais même: c'est une propriété essentielle des fonctions logarithmiques.
).
Je pensais que les sommes doubles c'était avec deux sigmas collés ^^ (fin peut-être qu'on peut écrire des sommes avec deux INDICES 
)