Exercices de MPSI

[Hunted]

Cher/chère Hunted,

Ton idée est intéressante, mais on ne peut bien sûr pas se ramener à l'hypothèse d'appariement dans le cas général car l'hypothèse (globale) $ a_1\dots a_n = 1 $ ne donne aucune information (locale) sur la valeur des couples $ a_ia_j $.

En raisonnant globalement, et avec un peu d'astuce, on peut tout de même faire aboutir ton idée de n'utiliser que l'inégalité $ x + x^{-1} \geq 2 $. Je crois que c'est Cauchy qui s'en est rendu compte le premier. Voici une indication :

SPOILER:

Démontrer d'abord le résultat pour tout $ n $ de la forme $ n = 2^k $ par récurrence sur l'entier $ k $.

Une autre façon de s'en sortir avec des idées proches consiste à généraliser un peu l'inégalité $ x + x^{-1} \geq 2 $ :

SPOILER:

Étudier les variations de $ x \mapsto nx + x^{-n} $ sur $ ]0,\infty[ $ pour tout $ n \geq 1 $ puis en déduire le résultat par récurrence.

Ceci n'a rien d'exhaustif : le problème posé par King est ultra-célèbre et a des tonnes d'applications et de démonstrations.

Merci pour ces indications !

J'essaierai de partir dans les deux directions proposées dès que j'ai un peu de temps !

[mathophilie]

@Hunted :

Hunted a écrit:
Le rectangle ci-dessous est pavé par 9 carrés. Le carré noir a pour côté une unité.
Quelles sont les dimensions du rectangle?

Image

SPOILER:

En trouvant des égalités entre chacun des carrés à partir du carré unité, je débouche sur le second plus petit carré après le carré unité qui a comme côté 4.
A partir de là, on trouve en posant de nouvelles égalités une autre valeur de côté d'un autre carré, et on débouche sur les dimensions du rectangle qui sont 32 (pour le "vertical" en regardant droit l'écran ^^) et 33 (pour le côté horizontal). Ya probablement des erreurs de calculs, avec tous ces c1, c2, c3 partout ^^

[mathophilie]

Cher Siméon, (vous commencez toujours comme cela ^^)

Je me permets de vous poser une question sur cet exercice de King : un raisonnement par l'absurde peut-il aboutir ici ?

Pour l'instant je ne suis parvenue qu'à démontrer que pour toute suite un de la sorte, on a $ \sum_{k=1}^{n }u_k \ge n $ ou $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k} \ge n $, avec ou non exclusif, lais je ne parviens pas à démontrer le "et"...

Le raisonnement par l'absurde est-il ici la clé ?

Et merci à youyou7 pour son exo Je me pencherai dessus après les autres... Trop d'exos irrésolus ^^

mathophilie, je pense que si tu as démontré le "ou" tu peux te rapporter au "et" en utilisant une loi de De Morgan, en particulier celle-là :

A et B deux propositions :

A et B vraie équivaut à dire que négation(négation de A ou négation de B).

Vu que tu as déjà démontré que A ou B vraie, tu peux sans doute te rapporter plus facilement à négation(négation de A ou négation de B) que de montrer directement que A et B vraie...

Merci Hunted !

Je connaissais pas cette loi ! (mais je crois que Sigma Pi l'avait utilisé pour une résolution élégante). Ca va probablement me servir

EDIT : Heinnn, après visualisation graphique, je connaissais "officieusement" grâce à ma prof de première... Mais j'y aurais pas pensé Merci ^^

EDIT 2 : Attends un peu mais... [moment de réflexion]

[Hunted]

@Hunted :

Hunted a écrit:
Le rectangle ci-dessous est pavé par 9 carrés. Le carré noir a pour côté une unité.
Quelles sont les dimensions du rectangle?

Image

SPOILER:

En trouvant des égalités entre chacun des carrés à partir du carré unité, je débouche sur le second plus petit carré après le carré unité qui a comme côté 4.
A partir de là, on trouve en posant de nouvelles égalités une autre valeur de côté d'un autre carré, et on débouche sur les dimensions du rectangle qui sont 32 (pour le "vertical" en regardant droit l'écran ^^) et 33 (pour le côté horizontal). Ya probablement des erreurs de calculs, avec tous ces c1, c2, c3 partout ^^

C'est ça

[mathophilie]

Cool

[Siméon]

Pour l'instant je ne suis parvenue qu'à démontrer que pour toute suite un de la sorte, on a $ \sum_{k=1}^{n }u_k \ge n $ ou $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k} \ge n $

Ça c'est vrai pour n'importe quelle suite de réels strictement positifs. Peu de chance que ça puisse servir dans l'exercice.

Le raisonnement par l'absurde est-il ici la clé ?

Non.

[mathophilie]

Soient $ a_1, a_2,\cdots, a_n $ des réels strictement positifs tels que $ a_1a_2\cdots a_n = 1 $. Montrer que $ a_1+a_2+\cdots+ a_n \ge n $.

Bon je propose... Hm... je ne sais pas si c'est bon surtout au niveau du raisonnement logique.

SPOILER:

On démo le cas n=2, c'est à dire que la somme de deux inverses est toujours supérieure ou égale à deux.
Rapidement, $ (a+b)^2 \ge 0 $
Donc $ a^2 + b ^2 \ge 2ab $
D'où $ \frac{a^2 + b^2}{ab} \ge $

Ainsi, pour tous a et b réels non nuls, $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 $ (wallissen, allo ? Ca te rappelle le début du topic lycéens ? )

En appliquant directement cette "propriété" à nos termes ak de la suite an de l'exo on obtient pour tout k compris entre 1 et n, les inégalités :
$ a_k + \frac{1}{a_k} \ge 2 $

En sommant ces inégalités, il vient :
(On la note (1)) : $ \sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} \ge 2n $ pour toute suite (an) répondant à l'hypothèse de départ a1a2...an= 1

Donc, en toute logique, $ \sum_{k=1}^{n}a_k \ge n $ ou $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} \ge n $

On note A la proposition "$ \sum_{k=1}^{n}a_k \ge n $".

B la proposition "$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} \ge n $".

Ici neg équivaut à "négation" (je ne connais pas l'écriture rigoureuse en logique...)

Et C la proposition "La somme des termes d'une suite S définie telle que $ \prod_{k=1}^{n}S_k $ avec $ S_k > 0 $ est supérieure ou égale à n (n naturel)".

C vraie équivaut à (A et B) vraie.

D'après les lois de Morgan (thanks to Hunted ^^), démontrer que C est vraie équivaut à démontrer que négation(negA ou neg B) est vraie.

D'après l'inégalité (1), on remarque que negA équivaut à $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} > n $ et negB équivaut à $ \sum_{k=1}^{n}a_k > n $

Ainsi, la proposition (negA ou negB) est fausse, car on ne prend pas en compte ici le cas de la coexistence de l'égalité pour les deux propositions A et B, à savoir :

$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} = n $ ET $ \sum_{k=1}^{n}a_k = n $.

Et donc neg(neg A ou negB) est vraie.

Donc (A et B) vraie.

D'où C vraie.

Je sais pas si le raisonnement logique tient debout...

[mathophilie]

Ça c'est vrai pour n'importe quelle suite de réels strictement positifs. Peu de chance que ça puisse servir dans l'exercice.

Je sais bien C'est pour cette raison que mon raisonnement précédent est très probablement faux...

Sniff, si l'absurde ne marche pas...

En y réflechissant, l'erreur est probablement au niveau des majorations strictes ou non...

[SigmaPi]

J'ai pas tout suivi, et je viens d'arriver, mais il me semble que tu as mal traduit la proposition "neg(A)".

Si A est la proposition : " x est supérieur ou égal à y"
alors non-A ( c'est à dire neg(A)) est la proposition : " x est strictement inférieur à y"

Et je n'ai pas trop compris l'expression de la suite S (genre pourquoi C vraie équivaut à [A et B] vraie)

[mathophilie]

Hello !

Ben j'ai essayé d'exprimer neg(A) en partant de cette définition justement,

du coup comme A : "$ \sum_{k=1}^{n}a_k \ge n". $

Je crois qu'on a neg(A) : "$ \sum_{k=1}^{n}a_k < n $

Et donc comme $ \sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} \ge 2n $

J'ai écrit direct neg(A) : $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} > n $

De même pour neg(B). M'enfin ya forcément un truc qui cloche...


Pour C et tout, je pensais que comme on cherche à démo que pour toute suite Sk telle que [...], on a $ \prod_{k=1}^{n}S_k $,
alors on pouvait démo que pour toute suite on a l'inégalité 1, et que dans le cas des suites Sk, on a les propositions A et B en particulier, du coup Comme les suites (An) et (1/An) appartiennent aux suites Sk, on pouvait conclure.
Ca me parait tellement brouillon qu'en fait c'est probablement ça qui est faux.